作业帮是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在,求对应的a值若不存在，试说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 14:09:45
![是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在,求对应的a值若不存在，试说明理由](/uploads/image/z/7020056-56-6.jpg?t=%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E5%87%BD%E6%95%B0y%3Dsin%5E2x+%2Bacosx%2B%285%2F8%29a-3%2F2%E5%9C%A8%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%2C%CF%80%2F2%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E6%98%AF1%3F%E8%8B%A5%E5%AD%98%E5%9C%A8%2C%E6%B1%82%E5%AF%B9%E5%BA%94%E7%9A%84a%E5%80%BC%E8%8B%A5%E4%B8%8D%E5%AD%98%E5%9C%A8%EF%BC%8C%E8%AF%95%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1)
是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在,求对应的a值若不存在，试说明理由
是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在,求对应的a值
若不存在，试说明理由
是否存在实数a,使得函数y=sin^2x +acosx+(5/8)a-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1?若存在,求对应的a值若不存在，试说明理由
令t=cosx,则1-t²=sin²x,对于x∈[0,π/2],有t∈[0,1]
于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2
令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2,当g(t)取得最大值时,对应的f(x)也能取得相等的最大值
对g(t)求导,得：g′(t)=a-2t
当a≤0时,对于t∈[0,1]有g′(t)≤0,g(t)在t∈[0,1]上单调递减
于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2＜0,不符合题设
当a＞2时,g′(t)在t∈[0,1]上为正,g(t)在t∈[0,1]上单调递增,
于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2
令(13/8)a-3/2=1,得：a=20/13＜2,不符合
当0＜a≤2时,g′(t)在t∈[0,a/2)时为正,在t∈(a/2,1]时为负
于是当t∈[0,a/2)时,g(t)单调递增；当t∈(a/2,1]时,g(t)单调递减
当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2
令g(a/2)=1,得a²/4+(5/8)a-3/2=0,
即2a²+5a-12=0,(2a-3)(a+4)=0
解出a=-4(舍去)或a=3/2
∴所求a存在,为3/2 ,而当f(x)取得最大值时,t=3/4=cosx