作业帮关于拉格朗日中值定理的疑问函数为：f(x)=x^2*sin(1/x),x≠0；f(0)=0,则f(x)连续,可导f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ,（00所以当x—>0时,limf'(
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:57:26
![关于拉格朗日中值定理的疑问函数为：f(x)=x^2*sin(1/x),x≠0；f(0)=0,则f(x)连续,可导f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ,（00所以当x—>0时,limf'(](/uploads/image/z/6080615-71-5.jpg?t=%E5%85%B3%E4%BA%8E%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%E7%9A%84%E7%96%91%E9%97%AE%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%BA%EF%BC%9Af%28x%29%3Dx%5E2%2Asin%281%2Fx%29%2Cx%E2%89%A00%EF%BC%9Bf%280%29%3D0%2C%E5%88%99f%28x%29%E8%BF%9E%E7%BB%AD%2C%E5%8F%AF%E5%AF%BCf%27%28x%29%3D2xsin%281%2Fx%29-cos%281%2Fx%29%2Cx%E2%89%A00%EF%BC%9Bf%27%280%29%3D0%E4%B8%BAf%27%28x%29%E7%9A%84%E6%97%A0%E7%A9%B7%E9%97%B4%E6%96%AD%E7%82%B9%E7%94%B1%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86%5Bf%28x%29-f%280%29%5D%2Fx%3Df%27%28%CE%BE%29+%2C%EF%BC%8800%E6%89%80%E4%BB%A5%E5%BD%93x%E2%80%94%3E0%E6%97%B6%2Climf%27%28)
关于拉格朗日中值定理的疑问函数为：f(x)=x^2*sin(1/x),x≠0；f(0)=0,则f(x)连续,可导f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ,（00所以当x—>0时,limf'(
关于拉格朗日中值定理的疑问
函数为：f(x)=x^2*sin(1/x),x≠0；f(0)=0,则f(x)连续,可导
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点
由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ,（00
所以当x—>0时,limf'(x)=f'(0)
所以f'(x)在x=0处连续,与“f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点”矛盾
关于拉格朗日中值定理的疑问函数为：f(x)=x^2*sin(1/x),x≠0；f(0)=0,则f(x)连续,可导f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x),x≠0；f'(0)=0为f'(x)的无穷间断点由拉格朗日中值定理[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ) ,（00所以当x—>0时,limf'(
所以当x—>0时,limf'(x)=f'(0)
这一句有问题,因为只能说对满足
[f(x)-f(0)]/x=f'(ξ(x))
的那些ξ,
当ξ足够小时f'(ξ)足够接近f'(0)
但是要注意的是满足中值定理的ξ并没有占据x=0附近的所有点,要让x=0附近的任意一点x,满足x离0足够近时,f'(x)都能足够接近f'(0)才行,只有满足中值定理的那些ξ是不够的.
首先，x=0处为振荡间断点。然后就是你在使用limf'(x)=f'(0)x趋于0时，已经默认导数连续了，用导数连续证明连续当然可以了。事实上limf(x)=f(a)x趋于a成立，只有x=a处连续才行！