试说明111…1(n个1)55…5(n个5)6是一个完全平方数.试说明111…1(n个1)55…5(n个5)6是一个完全平方数解答过程啊!

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完全平方数
九章出版社提供
(一)完全平方数的性质
一个数如果是另一个整数的完全平方,那麼我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数.例如：
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…
观察这些完全平方数,可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识.下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9.
性质2：奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数.
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9
分别平方后,得
(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方,个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数.
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6；反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
证明 已知=10k+6,证明k为奇数.因为的个位数为6,所以m的个位数为4或6,於是可设m=10n+4或10n+6.则
10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数.
推论1：如果一个数的十位数字是奇数,而个位数字不是6,那麼这个数一定不是完全平方数.
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6,则它的十位数字是偶数.
性质4：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1.
这是因为 (2k+1)=4k(k+1)+1
(2k)=4
性质5：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型.
在性质4的证明中,由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数.
性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1.
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2.平方后,分别得
(3m)=9=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型,能被5整除的数的平方为5k型.
性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1, 16m+4,16m+9.
除了上面关於个位数,十位数和余数的性质之外,还可研究完全平方数各位数字之和.例如,256它的各位数字相加为2+5+6=13,13叫做256的各位数字和.如果再把13的各位数字相加：1+3=4,4也可以叫做256的各位数字的和.下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加,如果得到的数字之和不是一位数,就把所得的数字再相加,直到成为一位数为止.我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等於这个数被9除的余数.
下面以四位数为例来说明这个命题.
设四位数为,则
= 1000a+100b+10c+d
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然,a+b+c+d是四位数被9除的余数.
对於n位数,也可以仿此法予以证明.
关於完全平方数的数字和有下面的性质：
性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9.
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式,而
(9k)=9(9)+0
(9k±1)=9(9±2k)+1
(9k±2)=9(9±4k)+4
(9k±3)=9(9±6k)+9
(9k±4)=9(9±8k+1)+7
除了以上几条性质以外,还有下列重要性质：
性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数.
证明 充分性：设b为平方数,则
==(ac)
必要性：若为完全平方数,=,则
性质11：如果质数p能整除a,但不能整除a,则a不是完全平方数.
证明 由题设可知,a有质因数p,但无因数,可知a分解成标准式时,p的次方为1,而完全平方数分解成标准式时,各质因数的次方均为偶数,可见a不是完全平方数.
性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数,即若
<k<(n+1)
则k一定不是完全平方数.
性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n本身).
(二)重要结论
1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3.个位数是6,十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数.
(三)范例
[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数,求此数.
设此自然数为x,依题意可得
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得
∴n>m
(
但89为质数,它的正因数只能是1与89,於是.解之,得n=45.代入(2)得.故所求的自然数是1981.
[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1,等於一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题).
分析 设四个连续的整数为,其中n为整数.欲证
是一奇数的平方,只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可.
证明 设这四个整数之积加上1为m,则





而n(n+1)是两个连续整数的积,所以是偶数；又因为2n+1是奇数,因而n(n+1)+2n+1是奇数.这就证明了m是一个奇数的平方.
[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题).
分析 形如的数若是完全平方数,必是末位为1或9的数的平方,即
或
在两端同时减去1之后即可推出矛盾.
证明 若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等.
若,则
因为左端为奇数,右端为偶数,所以左右两端不相等.
综上所述,不可能是完全平方数.
另证 由为奇数知,若它为完全平方数,则只能是奇数的平方.但已证过,奇数的平方其十位数字必是偶数,而十位上的数字为1,所以不是完全平方数.
[例4]：试证数列49,4489,444889, 的每一项都是完全平方数.
证明
=
=++1
=4+8+1
=4()(9+1)+8+1
=36 ()+12+1
=(6+1)
即为完全平方数.
[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?
设由300个2和若干个0组成的数为A,则其数字和为600
3｜600 ∴3｜A
此数有3的因数,故9｜A.但9｜600,∴矛盾.故不可能有完全平方数.
[例6]：试求一个四位数,它是一个完全平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题).
设此数为
此数为完全平方,则必须是11的倍数.因此11｜a + b,而a,b为0,1,2,9,故共有(2,9), (3,8), (4,7),(9,2)等8组可能.
直接验算,可知此数为7744=88.
[例7]：求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数.
(2)被22除余数为5.
(3)它是完全平方数.
设,其中n,N为自然数,可知N为奇数.
11｜N - 4或11｜N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025.
[例8]：甲、乙两人合养了n头羊,而每头羊的卖价又恰为n元,全部卖完后,两人分钱方法如下：先由甲拿十元,再由乙拿十元,如此轮流,拿到最后,剩下不足十元,轮到乙拿去.为了平均分配,甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?
n头羊的总价为元,由题意知元中含有奇数个10元,即完全平方数的十位数字是奇数.如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6.所以,的末位数字为6,即乙最后拿的是6元,从而为平均分配,甲应补给乙2元.
[例9]：矩形四边的长度都是小於10的整数(单位：公分),这四个长度数可构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这四位数是一个完全平方数,求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题).
设矩形的边长为x,y,则四位数
∵N是完全平方数,11为质数 ∴x+y能被11整除.
又 ,得x+y=11.
∴∴9x+1是一个完全平方数,而,验算知x=7满足条件.又由x+y=11得.
[例10]：求一个四位数,使它等