作业帮如图,已知两圆内切于点A,大圆的弦BC切小圆于D,AD的延长线交大圆于E,求证AB*CD=BE*AD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 22:38:56
如图,已知两圆内切于点A,大圆的弦BC切小圆于D,AD的延长线交大圆于E,求证AB*CD=BE*AD
如图,已知两圆内切于点A,大圆的弦BC切小圆于D,AD的延长线交大圆于E,求证AB*CD=BE*AD
如图,已知两圆内切于点A,大圆的弦BC切小圆于D,AD的延长线交大圆于E,求证AB*CD=BE*AD
过点A作两圆的公切线AF,交吧、BC延长线于F,
又∵FD切小圆于D,
∴FC=FD(切线长相等)
∴∠ADF=∠DAF,
又∵∠ABE=∠EAF（线切角定理）
∴∠ADF=∠ABE,
又∵∠E=∠DCA,
∴△ABE∽△ADC,
∴AB/AD=BE/CD,
即AB*CD=BE*AD
令AB交小圆于F，过A作两圆的公切线AG，使C、G在AE的同侧。
∵AG切两圆于A，∴∠GAE＝∠AFD、∠GAE＝∠ABE，∴∠AFD＝∠ABE。
∵CD切小圆于D，∴∠ADC＝∠AFD，∴∠ADC＝∠ABE。
∵A、B、E、C共圆，∴∠ACD＝∠AEB，又∠ADC＝∠ABE，∴△ADC∽△ABE，
∴AD/AB＝CD/BE，∴AB·CD＝BE·AD。...
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令AB交小圆于F，过A作两圆的公切线AG，使C、G在AE的同侧。
∵AG切两圆于A，∴∠GAE＝∠AFD、∠GAE＝∠ABE，∴∠AFD＝∠ABE。
∵CD切小圆于D，∴∠ADC＝∠AFD，∴∠ADC＝∠ABE。
∵A、B、E、C共圆，∴∠ACD＝∠AEB，又∠ADC＝∠ABE，∴△ADC∽△ABE，
∴AD/AB＝CD/BE，∴AB·CD＝BE·AD。
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证明：设AB交小圆与F
①先证明BE∥与DF,得到∠ABE=∠AFD
②再证明∠AFD=∠ADC
③如此便容易得△ADC∽△ABE
得证
①的证明：做A点的切线AM，M在右下方
由切割线定理知∠ABE=∠EAM，∠AFD=∠DAM
②的证明：直接由切割线定理知
...
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证明：设AB交小圆与F
①先证明BE∥与DF,得到∠ABE=∠AFD
②再证明∠AFD=∠ADC
③如此便容易得△ADC∽△ABE
得证
①的证明：做A点的切线AM，M在右下方
由切割线定理知∠ABE=∠EAM，∠AFD=∠DAM
②的证明：直接由切割线定理知
至于切割线定理的证明，你如果不知道，可以追问
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