作业帮已知球O在一个棱长为2√3 的正四面体内,如果球O是该正四面体的最大球,那么球O的表面积等于 （ ）要详细一点.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 14:26:34
已知球O在一个棱长为2√3 的正四面体内,如果球O是该正四面体的最大球,那么球O的表面积等于 （ ）要详细一点.
已知球O在一个棱长为2√3 的正四面体内,如果球O是该正四面体的最大球,那么球O的表面积等于 （ ）
要详细一点.
已知球O在一个棱长为2√3 的正四面体内,如果球O是该正四面体的最大球,那么球O的表面积等于 （ ）要详细一点.
如图.此题目考查相关形体的空间概念,以及基础知识.即对正三角形的中线,中心（即重心）位置的熟练计算能力.比如：中线是边长的二分之根号三,重心又在中线的三分点上,球与四个面的切点只能是也必须是各个面的重心（因为球与正多面体都是中心对称与轴对称图形）.等等.
刚才说的“空间概念”,就比如你画的立体图,画一个圆,就可以表示球,我画的圆很大,但是你也可以想象出：点F与G虽然未画在圆周上,但它完全可以表示出一个透明的玻璃球与底面相切于点F与点G.这就是“空间概念”的逐步树立的例子.您的时间可能极为宝贵,书归正传.
在底面三角形先求出高线BE,再求出“底面内切圆半径”FE.右下图中已经标出.
再看右上图,O是球心,F,G都是切点.这是一个腰长为3,底边长为二倍根号三的等腰三角形.
连EO延长交棱AB于H.（哈哈,H可不是切点）.
利用相似三角形EFO与EHB的二直角边的比例,很容易求出OF,也就是内切球的半径OF来.当然,先要用勾股定理求出EH来.(是根号六）.
计算的结果是：球半径OF为二分之根号二.
球的表面积是大圆面积的四倍.（这个大自然的规律,TMD,永生不可忘记）.答：2π.
最大球就应该是棱切球，先画一个四面体，内部棱切一个球。连接一条侧棱和它相对的底面棱的中点，即为球的直径，再连接底面这条棱的中点和它所对的底面顶点和所用的侧棱中点，构成直角三角形，勾股定理可求得球的直径长为根号6，所以表面积为6π...
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最大球就应该是棱切球，先画一个四面体，内部棱切一个球。连接一条侧棱和它相对的底面棱的中点，即为球的直径，再连接底面这条棱的中点和它所对的底面顶点和所用的侧棱中点，构成直角三角形，勾股定理可求得球的直径长为根号6，所以表面积为6π
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因为正四面体棱长为2√3 ，且球O是该正四面体的最大球，所以该球O为内切球，所以球O的半径为：（√6×2√3）/12=（6√2）/12=√2/2.所以球的表面积为2π
这样正四面体棱长为a，则正四面体的底面三角形的高h=√3a/2,底面三角形中心到底面三角形的顶点距离s=h*2/3=√3a/2*(2/3)=√3a/3,或者s=a/2/（√3/2）=√3a/3，底面三角形中心到底面三角形边长的距离p=s/2=√3a/6
由勾股定理 正四面体的高H=√[棱长^2+s^2]=√[a^2-(√3a/3)^2]=√6a/3,
内切球的球心就是正四面体的中...
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这样正四面体棱长为a，则正四面体的底面三角形的高h=√3a/2,底面三角形中心到底面三角形的顶点距离s=h*2/3=√3a/2*(2/3)=√3a/3,或者s=a/2/（√3/2）=√3a/3，底面三角形中心到底面三角形边长的距离p=s/2=√3a/6
由勾股定理 正四面体的高H=√[棱长^2+s^2]=√[a^2-(√3a/3)^2]=√6a/3,
内切球的球心就是正四面体的中心，内切球半径就是正四面体中心到每个面的距离r，你连接正四面体中心和一个面得的中中心就是内切球半径，你做个图，很容易由相似三角形得出
r/s=p/H
得出r=（√3a/6）/（√6a/3）*（√3a/3）=√6/12a
棱长为2√3 的正四面体 所以内切球半径为 r=√6/12*2√3 =√2/2
所以球的表面积 S=4*π*r^2=2π
望采纳！
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球O半径是1/4正四面体内高，为3/2
R=1/4*3/2=3/8
S=4πR2=9π/16