作业帮将1~3这30个自然数相乘,所得的积末尾有几个零
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:40:29
将1~3这30个自然数相乘,所得的积末尾有几个零
将1~3这30个自然数相乘,所得的积末尾有几个零
将1~3这30个自然数相乘,所得的积末尾有几个零
关键是看因数2和5的个数,因为因数2的个数比因数5的个数多,则只用考虑因数5的个数就行了.
5的倍数有30÷5=6个,25的倍数有1个,则有6+1=7个0
将1~30这30个自然数相乘，所得的积末尾有几个零
答案是:
30/5+[30/25]=6+1=7. 这里[x]表示x的整数部分。
本题相当于
1*2*3*...*30=10^b*N,N不被10整除，求b.
其实，10^b由2^b和5^b乘得。于是此题又相当于：
1*2*3*...*30=2^a*5^b*N,N与10互质，即不被2,5整除...
全部展开
将1~30这30个自然数相乘，所得的积末尾有几个零
答案是:
30/5+[30/25]=6+1=7. 这里[x]表示x的整数部分。
本题相当于
1*2*3*...*30=10^b*N,N不被10整除，求b.
其实，10^b由2^b和5^b乘得。于是此题又相当于：
1*2*3*...*30=2^a*5^b*N,N与10互质，即不被2,5整除,求其中较小的一个.
我们后面会分析出，其中含有因子2的次数a大于含有5的次数b。因此，我们讨论5^b就行了。于是题目等效于
1*2*3*...*30=5^b*N,N不被5整除，求b.
原因：
30以内5的倍数(有且只有这些数含有约数5),形如5k<=30：
5,10, ... , 30
它们的个数，是30/5的整数部分，用高斯取整函数[x]，记成[30/5]
这里30/5本身是整数，[30/5]直接写作30/5.
每个数计因子5各1次,得到5的指数
e(1)=[30/5]=6;
其中形如25k<=30的数还能被5^2整除，应当再多计因子5各1次。
个数为1个,可以这样计算：[30/5^2]=1,
显然也可以这样算：[[30/5]/5]=[6/5]=1
这样得到由5^2的倍数追加的指数
e(2)=[30/5^2]=1
同样还要讨论5^i(i>=3)的倍数的贡献，但是[30/5^3]=0,已经不用再考虑。
再次重申：[x]表示x的整数部分。30/5^3在(0,1)之内（值是0.24)，整数部分为0.
于是所求指数
b=e(1)+e(2)+...=[30/5]+[30/5^2]+...=6+1+0=7
同理，前面提到的a=30/2+[30/4]+[30/16]+...=15+7+1+0=33,其实由第一项
30/2即知a>b.
思考题:
1*2* ... * N =p^e * k,p为素数，k不被p整除。求e。或者说，
1*2* ... * N =p^e * k,p为素数。求e的最大值。
答案：
e
=[N/p}+[N/p^2]+[N/p^3]+...(可以一直加下去，加到0当然就可以停了，加也白加)
=sum([N/p^i]) {i从1到无穷大}
在数论中，这个函数常常写成：
Pot_(p) (N!)
Pot_p (k)就是k的标准素因子分解式中,质数p的指数。
注意：
e1=[N/p}
e2=[N/p^2]=[e1/p]
e3=[N/p^3]=[e2/p]
这样递推计算，省力。
相似题：
1×2×3×........×100所得的积的末尾有多少个连续的0？为什么
http://zhidao.baidu.com/question/182258177.html
回复 超级兔子kitty：回复：解 [k/5]+[k/5^2]+[k/5^3]+...=143<=k/5+k/25+...=k/4，若n!末尾有143个零，n>=572
实算得600!末尾0的个数为120+24+4=148, 将这个数除以600即知 599!到595!的末0数为146, 594!~590的末0数为145,589!~585!对应144, 584~580对应于143.
收起