a为正定矩阵,a－b为半正定矩阵,为什么使a,b合同对角化的可逆矩阵s相等?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:44:02
a为正定矩阵,a－b为半正定矩阵,为什么使a,b合同对角化的可逆矩阵s相等?

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a为正定矩阵,a－b为半正定矩阵,为什么使a,b合同对角化的可逆矩阵s相等?

a为正定矩阵,a－b为半正定矩阵,为什么使a,b合同对角化的可逆矩阵s相等?
1.注意问题的讲法,应该是能够找到一个使得a和b同时合同对角化的可逆矩阵s,而不是说分别使a和b合同对角化的可逆矩阵s1,s2一定满足s1=s2.
2.楼上的方法是错的,错误在于“因为v是正交矩阵,所以v^(-1)u^(-1)auv=v'u'auv还是对角矩阵”,不信可以找2阶的例子试试.
3.正确的做法,先用普通的合同变换把a变成单位阵,即c'ac=e（注意,对角阵还不够）,然后再用正交变换v把c'bc化成对角阵,此时v'c'acv=e保持不变,于是可以取s=cv.
这里不能指望s是正交阵,因为事实上s的每一列都是广义特征值问题的特征向量,具有一定意义的唯一性,所以没有很大的松动余地.

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