作业帮三角形ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,角C多大?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:43:01
三角形ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,角C多大?
三角形ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,角C多大?
三角形ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,角C多大?
∵3sinA+4cosB=6
∴(3sinA+4cosB)^2=36
∴[9(sinA)^2+16(cosB)^2+24sinAcosB=36(1)
∵4sinB+3cosA=1
∴(4sinB+3cosA)^2=1
∴16(sinB)^2+9(cosA)^2+24cosAsinB=1(2)
(1)+(2)：9(sinA)^2+16(cosB)^2+24sinAcosB]+[16(sinB)^2+9(cosA)^2+24cosAsinB]=37
∴[9(sinA)^2+9(cosA)^2]+[16(cosB)^2+16(sinB)^2]+24(sinAcosB+cosAsinB)=37
∴9+16+24sin(A+B)=37
∴24sin(π-C)=12
∴sinC=1/2
∴C=π/6或5π/6
∵当C=5π/6,即A+B=π/6时,A<π/6
∴cosA>cos(π/6)=(√3)/2
∴3cosA>3(√3)/2>1
∵sinA>0
∴4sinB>0
∴4sinB+3cosA>1,与题中的4sinB+3cosA=1矛盾
∴C=π/6
3sinA+4cosB=6
平方得
9sin²A+24sinAcosB+16cos²B=36
4sinB+3cosA=1
平方得
16sin²B+24sinBcosA+9cos²A=1
相加，得
16(sin²B+cos²B)+9(sin²A+cos²A)+24(sinAcosB+sinBcosA)=37
25+24sin(A+B)=37
24sinC=12
sinC=0.5
C=30度
两式相加得sinC=1/2
∴C=π/6或5π/6
则A+B=π/6或A+B=5π/6
在3sinA+4cosB=6中，3sinA=6-4cosB≧2，∴sinA≧2／3，∴A+B=5π/6
则C=π/6
由3sinA＋4cosB=6,3cosA＋4sinB=1,Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA有
(3sinA＋4cosB)^+(3cosA＋4sinB)^ =6^+1^ (^表示平方)
9+16+24sinAcosB+24cosAsinB=37
24sin(A+B)=12
sin(A+B)=1/2
则角C=30º或150...
全部展开
由3sinA＋4cosB=6,3cosA＋4sinB=1,Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosA有
(3sinA＋4cosB)^+(3cosA＋4sinB)^ =6^+1^ (^表示平方)
9+16+24sinAcosB+24cosAsinB=37
24sin(A+B)=12
sin(A+B)=1/2
则角C=30º或150º
因3sinA＋4cosB=3sin(B+C)+4cosB
=3sinBcosC+3cosBsinC+4cosB
=3sinBcosC+cosB(3sinC+4)
=3sinBcosC+cosB*5.5 (sinC=1/2)
当C=150º时cosC<0 ，B<30º,0
所以C=150º不成立
所以角C为30º
收起
3sinA+4cosB=6 （称为一式）
3cosA+4sinB=1（称为二式）
一式的平方+二式的平方，有
9+16+24（sinAcosB+cosAsinB）=36+1
所以sin（A+B）=0.5
又：3cosA=1-4sinB<1
即：cosA<1/3<1/2
所以A>arccos0.5=60°
所以A+B=150°
所以∠C=30°