xy''-y'-x^2=0求解微分方程

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 17:46:07

xy''-y'-x^2=0求解微分方程
xy''-y'-x^2=0求解微分方程

xy''-y'-x^2=0求解微分方程
最普通方法(想不到时,只能用这种呆方法,反正能做出来)
设x=e^t
dx=e^tdt
dy/dx=dy/[e^tdt]=1/e^t*dy/dt
y''=d[1/e^tdy/dt]/dx=d[1/e^tdy/dt]/[e^tdt]=[-1/e^t*dy/dt+1/e^t*dy^2/dt]/e^txy''=1/e^t(-dy/dt+dy^2/dt)设dy/dt=u
则代入原式:
-1/e^tu'+1/e^tu''-1/e^tu'-e^(2t)=0
u''-2u'=e^(3t)
齐次方程:u''-2u'=0的特征方程:r^2-2r=0 r=2 or r=0
齐次方程通解:u=c1e^(2t)+C2e^3t中3不是特征根的解,u*=ae^(3t)
u'=3ae3^t
u''=9ae^3t代入得:9a-2*3a=1 a=1/3
故通解为:C1e^(2t)+1/3e^(3t)+C2
即解为y=1/3x^3+c1x^2+c2
第二种方法,凑数法：
(y'/x)'=（xy''-y'）/x^2
xy''-y'=x^2(y'/x)'代入原式
x^2(y'/x)'-x^2=0
(y'/x)'=1
y'/x=x+C
y'=x^2+cx
y=1/3x^3+C1x^2+C2

(y'/x)'=(xy''-x'y')/x²=1
y'/x=x+2C
y'=x²＋2Cx
y=x³/3+Cx²+D C,D为任意常数
验算 y=x³/3+Cx²+D
y'=x²＋2Cx y''=2x+2C
xy''-y'-x²=2x²+2Cx-(x²＋2Cx)-x²=0

y=1/3x^3+C1x^2+C2

xy''-y'-x^2=0求解微分方程求解微分方程xy''-y'+2=0, 微分方程xy''=y'-x(y')^2的通解为 y''+2y'=0求解, 求解微分方程 x^2*dy/dx=xy-y^2 微分方程求解 (x^2y^3+xy)dy=dx 微分方程求解 (x^2y^3+xy)dy=dx 求解一个微分方程：（2x·y^2-y)dx+(y^2+xy)dy = 0 微分方程xy'=2y求解求解微分方程xy'-y-(y^2-x^2)^1/2=0 求解常微分方程!y'=xy-x^2+1,且y(0)=1.0 求解常微分方程 y+2xy'+(x^2)y''=0 坐等… 微分方程 xy”-y'+x^2=0! 求解常微分方程 xy(y-xy')=x+yy',y（0）=（1/2）*根号2 求解微分方程x²y'+xy=y² 求解微分方程（xy^2+x）dx+(y-x^2y)dy=0,y(2)=1的通解 1、y’=(xy+y)/(x+xy),y(1)=1 2、(y/x)y’+e^y=0,y(1)=0 求解微分方程, 求解微分方程xy'ln(x)sin(y)+cos(y)(1-x*cos(y))=0 求解微分方程y-xy'=a(y^2+y')