已知：△ABC,角B=60°,AD.CE分别是角A和角C的角平分线.求证：AC=AE+CD

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 11:07:42

已知：△ABC,角B=60°,AD.CE分别是角A和角C的角平分线.求证：AC=AE+CD
已知：△ABC,角B=60°,AD.CE分别是角A和角C的角平分线.求证：AC=AE+CD

已知：△ABC,角B=60°,AD.CE分别是角A和角C的角平分线.求证：AC=AE+CD
AD.CE分别是角A和角C的角平分线,设AD和CE的交点为F
AD,CE,分别平分角BAC,ACB
所以：
∠AFE=∠FAC+∠FCA=1/2（∠A+∠C）=1/2（180-∠B）=60°
在AC上取AP=AE,连接FP
△AEF≌△APF
所以：∠AFP=∠AFE=60°
∠PFC=180°-∠AFP-∠AFE=60°
所以：∠DFC=60°
因为：CF公用,CE平分角ACB
所以：△PCF≌△DCF
所以：CD=PC
所以：AC=AP+PC=AE+CD

∵∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC ∠A=60°=∠c
∵AD,CE分别平分∠A,∠C
∴∠ACD=二分之一∠BAC=∠ACE=二分之一∠ACB
在△AEC与△ADC中
∠BAC=∠ACB
AC=AC
∠ACE=∠DAC
∴△AEC≌△ADC
∴AE=DC
∵△ABC为等边三角形 AD,...

全部展开

∵∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC ∠A=60°=∠c
∵AD,CE分别平分∠A,∠C
∴∠ACD=二分之一∠BAC=∠ACE=二分之一∠ACB
在△AEC与△ADC中
∠BAC=∠ACB
AC=AC
∠ACE=∠DAC
∴△AEC≌△ADC
∴AE=DC
∵△ABC为等边三角形 AD,CE分别平分∠A,∠C
∴CE为AB的中线(三线合一)
∴AE=BE
∵AE=DC
∴AE=DC=BE
∵AB=AE+BE
∴AB=AE+DC
∵AB=AC
∴AC=AE+CD

收起

证明：∵AD，CE分别是∠A和∠C的平分线，且令AD和CE的交点为M。

∠AME=∠MAC+∠MCA=1/2（∠A+∠C）=1/2（180-∠B）=60°

在AC上取AP=AE，连接MP

易证;△AEM≌△APM(SAS)

所以：∠AMP=∠AME=60°

∠PMC=180°-∠AMP-∠AME=60°

∴∠DMC=60°(对顶角相等)

同理可证：△PCM≌△DCM（ASA）

∴CD=PC

∴AC=AP+PC=AE+CD

设角平分线交点为P,过P向三条边做垂线,交AB于N,交BC于M,交AC于Q,则AC=AQ+QC=CM+AN,又因为角B=60,所以角A和角C的和为120,所以角PAC+角PCA=角APE=60=角B,所以三角形APE全等于三角形ABD,所以三角形PEN全等于三角形PMD,所以DM=NE,所以AE+CD=AN+CM=AQ+QC=AC,证毕