作业帮高数积分求解 和等价无穷小比较sinx/(1+cosx)的不定积分和在[0,pi/2]的区间上 sinx/(sinx+cosx)的定积分e^tanx-e^x与x^n n=几是同阶无穷小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:42:20
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高数积分求解 和等价无穷小比较sinx/(1+cosx)的不定积分和在[0,pi/2]的区间上 sinx/(sinx+cosx)的定积分e^tanx-e^x与x^n n=几是同阶无穷小
高数积分求解 和等价无穷小比较
sinx/(1+cosx)的不定积分
和在[0,pi/2]的区间上 sinx/(sinx+cosx)的定积分
e^tanx-e^x与x^n n=几是同阶无穷小
高数积分求解 和等价无穷小比较sinx/(1+cosx)的不定积分和在[0,pi/2]的区间上 sinx/(sinx+cosx)的定积分e^tanx-e^x与x^n n=几是同阶无穷小
1.积分sinx/(1+cosx)dx=积分-1/(1+cosx)d(cosx)=-ln(1+cosx)
2.换元,令t=pi/2-x
原式=-pi/2到0 cost/(cost+sint)d(-t)=0到pi/2 cost/(cost+sint)
将这个积分式与原积分式相加,得到
0到pi/2对1做积分=pi/2
所以原积分=pi/4
3.
e^tanx-e^x=e^x(e^(tanx-x)-1)
x趋于0时,e^x=1
tanx-x等价于(1/3)x^3
e^((1/3)x^3)-1等价于(1/3)x^3
所以n=3
1.凑微分法
∫sinx/(1+cosx)dx = -∫1/(1+cosx)*d(1+cosx)= - ln|1+cosx| + C = -ln(1+cosx)+ C
2. ∫sinx/(sinx+cosx)dx + ∫cosx/(sinx+cosx)dx = x + C
∫sinx/(sinx+cosx)dx - ∫cosx/(sinx+cosx)dx = ∫(sinx-...
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1.凑微分法
∫sinx/(1+cosx)dx = -∫1/(1+cosx)*d(1+cosx)= - ln|1+cosx| + C = -ln(1+cosx)+ C
2. ∫sinx/(sinx+cosx)dx + ∫cosx/(sinx+cosx)dx = x + C
∫sinx/(sinx+cosx)dx - ∫cosx/(sinx+cosx)dx = ∫(sinx-cosx)/(sinx+cosx) dx = -∫1/(sinx+cosx)*d(sinx+cosx) = -ln|sinx+cosx|+C
两式相加，得 ∫sinx/(sinx+cosx)dx = 1/2(-ln|sinx+cosx|+ x )+ C
于是所求定积分为 π/4
3.x→0， e^tanx-e^x =e^x(e^(tanx - x)-1)~ tanx - x ~ x^3/3
最后一步用罗比达求解或展开式求解
n=3
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