设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0(1)求f(0.5),f(0.25)(2)求证f(x)=f(x+2),x属于R

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 03:04:20

设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0(1)求f(0.5),f(0.25)(2)求证f(x)=f(x+2),x属于R
设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0
(1)求f(0.5),f(0.25)
(2)求证f(x)=f(x+2),x属于R

设f(x)是定义在R上的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,对任意x1,x2属于闭区间0到0.5都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2),且f(1)=a>0(1)求f(0.5),f(0.25)(2)求证f(x)=f(x+2),x属于R
1:因为a=f(1)=f(0.5+0.5)=f(0.5)*f(0.5),所以f(0.5)=a^(1/2),
同理得f(0.25)=a^(1/4)
2:设任意的x关于直线x=1对称对称的点为(2-x),
坐标分别表示为(x,f(x)),((2-x),f(2-x)),因为对称,所以纵坐标不变,
既f(x)=f(2-x),因为x的任意性,再用-x代替x得f(-x)=f(2+x)
又因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)
所以f(x)=f(x+2),x属于R

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请将题目改为：对任意x1,x2属于闭区间0到1都有f(x1+x2)=f(x1)*f(x2)，否则第一问没答案。
(1)
由对任意x1, x2属于[0, 1]，都有f(x1 + x2)=f(x1)f(x2)
令x1 = x2 = 0，得f(0) = 1或f(0) = 0
若f(0) = 0，则f(1) = f(0)f(1) = 0，与f(1) = a > 0矛盾，故f(0) = 1
由f(1) = f(0.5 + 0.5) = f(0.5)f(0.5) = a，知f(0.5) = +√a或f(0.5) = -√a
若f(0.5) = -√a，f(0.25)f(0.25)= f(0.5) = -√a，即f(0.25)不存在，与f(x)是定义在R上的偶函数不符，故f(0.5) = √a
同理可证f(0.25) = √√a = a^1/4
(2)证明：
其图象关于直线x=1对称，知对任意x成立：f(1 - x) = f(1 + x)
f(x)是定义在R上的偶函数，知对任意x成立：f(x) = f(-x)
由此可知，f(x) = f(-x) = f[1 + (- 1 - x)] = f[1 - (- 1 - x)] = f(2 + x)，即f(x)是以2为周期的函数

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