抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?构造什么样的代数运算或者条件呢?(对于群和环的关系还是没有完全理解.)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 07:10:18

抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?构造什么样的代数运算或者条件呢?(对于群和环的关系还是没有完全理解.)
抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?
构造什么样的代数运算或者条件呢?
(对于群和环的关系还是没有完全理解.)

抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?构造什么样的代数运算或者条件呢?(对于群和环的关系还是没有完全理解.)
整环不妨表示为(Ζ,+,*),下面简记为Ζ
不妨任取n∈Ζ+(正整数)
nΖ=={n*i | i∈Ζ},表示以n为生成元的循环群
在整环Ζ上定义关系～：j iff i-j∈nΖ(即i≡j(mod n))
容易验证～是一个Ζ上的等价关系,所以有Ζ关于～的等价类Ζ/～;
容易得到Ζ/～= {[i] | i=0,1,...,n-1},其中[i]={j∈Ζ | i}；
下面定义Ζ/～上面的乘法·:
任取[i],[j]∈Ζ/～,[i]·[j]=[i+j]
容易验证Ζ/～有单位元[1],任意元素[i]逆元为[-i],封闭性易得.
所以Ζ/～关于·做成一个群(Ζ/～,·)
这就是在整环(Ζ,+,*)上面构造出来一个群(Ζ/～,·),或者说由环(Ζ,+,*)“诱导”出来的一个群.
如果在Ζ/～上定义⊙：[i]⊙[j] = [i*j],那么容易得到(Ζ/～,⊙)是一个(含幺)半群而不是群,因为不是所有的元素都有逆元.
你自己还可以考虑其它的建构情况,感觉还有不少~
【附】概述群和环的关系,一个是定义了一种运算的集合,一个是定义了两种运算的集合(在第一种的基础上补充定义了一个新的运算),仅此而已.关于群和环上面定义的运算具体要满足的条件,不妨自己看书,自己总结.

抽象代数:如何在整数环上构造一个群/半群?构造什么样的代数运算或者条件呢?(对于群和环的关系还是没有完全理解.) 抽象代数,证明Sn 一个群?如何证明呢? 抽象代数中什么是环抽象代数群、环、域之间的关系. 抽象代数问题:整数域和整数环有什么区别?整数应该总是符合乘法交换率啊,所以整数集合上的+/*代数就是整数域吧,那么整数环从哪里来?难道还有整数不符合交换率吗?同样，多项式环为什么抽象代数中,定义了2个代数的集合是否就是环?可不可以说,定义了一个代数的就是群,定义了两个代数的就是环? 抽象代数问题：如果A不是整数域,那么他的多项式环也不是整数域怎么证明啊抽象代数,代数学引论,我感觉很抽象,不知道有些什么例子,学了有什么用,那位行家给我说说她的例子,如群,子群,理想,环,域,有限域,总之对于那些很抽象的概念,给的实例越多越好,比如Z是一个抽象代数魔方群请问有谁知道如何用抽象代数的方法解决魔方?还原魔方?讲讲思路或者提供材料, 抽象代数概念问题：群g的正规子群除如题～谢谢求抽象代数的一个证明试证：群G的任意有限子半群是子群. 抽象代数中的嵌入的定义是什么如题抽象代数：怎么判断奇置换如这个怎么看抽象代数·试题请求懂抽象代数的朋友热心解答,1、在七次对称群S7中,设a=（3215647）,b=（2476315）,计算(ab)的100次方?2、设Z7是整数环Z7关于模7的剩余类环,在Z7[X]中计算(x-[3])^8(x-[4]) 如何在几何画板中构造指定角度的角（或指定长度的线段）?如何在几何画板中构造指定角度的角?例：构造一个60度的角如何在几何画板中构造指定长度的线段?例：构造一个3cm长的线段有关抽象代数里的一个同态定理的证明上的疑问是Joseph J.Rotman著《抽象代数基础教程(原书第3版)》里定理2.122（第三同构定理）的证明上的疑问：若H和K都是群G的正规子群,K≤H(K是H的子群),则急抽象代数求证：代数整数构成环