从一个正方体中截取一个最大的圆锥体,圆锥体与正方体的体积比是多少?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 23:37:06

从一个正方体中截取一个最大的圆锥体,圆锥体与正方体的体积比是多少?
从一个正方体中截取一个最大的圆锥体,圆锥体与正方体的体积比是多少?

从一个正方体中截取一个最大的圆锥体,圆锥体与正方体的体积比是多少?
设正方体的棱长为2A,则截取的最大圆锥体的底面直径和高都是2A
正方体的体积=(2A)^3=8A^3
圆锥体的体积=π*A*A*(2A)/3=(2π/3)A^3
圆锥体与正方体的体积比是[(2π/3)A^3]:(8A^3)=π/12

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正方体中若截取最大体积的圆锥体！则圆心必定在正方体内的对角线上，高是此对角线的一部分！则可设正方体边长为L，圆锥体底面半径为R【R≤(√3÷2√2)L,此式是根据圆心在对角线上！而底面的边不能超出正方体边界所得】，则正方体内对角线长度为√3L，面上对角线长度为√2L。于是根据相似三角形可得出圆锥体高R=(√3L－H)/√2，由此可得出方程为V=派R*R*H/3带入R得出一个三元方程，利用导数得出其体积最大值时H为√3L/3，此时R=√6*L/3，这个值比R最大值大,因此不成立，所以圆锥体积最大时R为它的最大值此时圆锥体积为V=派＊√3*L*L*L/16,此时圆锥体积与正方体体积比值为1:√3派/16，换算成数字就约等于2.94

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