作业帮RT已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值速度 谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 15:28:23
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RT已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值速度 谢谢
RT
已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值
速度 谢谢
RT已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值速度 谢谢
已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值
RT
已知x属于[-π/4,π/4],求函数f(x)=cos^2x+sinx的最小值
x∈[-π/4,π/4],
另t=sinx∈[-0.5√2,0.5√2]
显然f(x)=cos^2x+sinx＝1－sin^2x+sinx
又g(t)=f(x)=1-t^2+t∈[g(-0.5√2),g(0.5)]
所以min f(x)=g(-0.5√2)=(√2+1)/2
f(x)=1-sin²x+sinx
x属于[-π/4,π/4]，因此-根号2/2≤sinx≤根号2/2
令t=sinx,则原函数化为g(t)=-t²+t+1,-根号2/2≤t≤根号2/2,题目转化为求g(t)的最小值问题
g(t)=-(t-1/2)²+5/4
在[-根号2/2,1/2]上为增函数，在[1/2,根号2/2]为减函数...
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f(x)=1-sin²x+sinx
x属于[-π/4,π/4]，因此-根号2/2≤sinx≤根号2/2
令t=sinx,则原函数化为g(t)=-t²+t+1,-根号2/2≤t≤根号2/2,题目转化为求g(t)的最小值问题
g(t)=-(t-1/2)²+5/4
在[-根号2/2,1/2]上为增函数，在[1/2,根号2/2]为减函数，因此最小值在区间端处取得的
g(-根号2/2)=f(-π/4)=(1+根号2)/2
g(根号2/2)=f(π/4)=(1-根号2)/2
显然g(-根号2/2)=f(-π/4)
这是虽然是三角函数求最值得典型题，单并没有涉及到很多三角函数的知识，更多的还是用到了二次函数，因此对二次函数的性质应该比较熟悉。更多的三角函数的问都要利用公式将函数化为同名一个角三角函数的表达式，然后利用定义域求解。一般方法是切割化弦，因为关于正弦和余弦的公式比较多。另外，辅助角公式很重要，无论是在求极值还是其它方面，都有很多应用。
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f(x)=cos^2x+sinx
=1/2+cos2x+sinx(降次）
=1/2+cos^2x-sin^2x+sinx
=1/2+1-2sin^2x+sinx
=3/2-2(sin^2x-1/2*sinx+1/16)+1/8
=13/8-2(sinx-1/4)^2
x属于[-π/4,π/4],sinx属于[-...
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f(x)=cos^2x+sinx
=1/2+cos2x+sinx(降次）
=1/2+cos^2x-sin^2x+sinx
=1/2+1-2sin^2x+sinx
=3/2-2(sin^2x-1/2*sinx+1/16)+1/8
=13/8-2(sinx-1/4)^2
x属于[-π/4,π/4],sinx属于[-(根号2)/2,(根号2)/2]
设sinx=t
f(t)=-2(t-1/4)^2+13/8开口向下对称轴为t=1/4,t范围中点在其左边
f(t)min=f[-(根号2)/2]=(1-(根号2))/2
即最小值为[1-2^(1/2)]/2
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