在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 15:58:51

在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2
在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2

在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2
证明：(1)必要性.
若△ABC为直角三角形,由对称性,不妨设
A+B=C=pi/2.
则 sin²A+sin²B+sin²C
=sin²A+sin²(pi/2-A)+sin²(pi/2)
=sin²A+cos²A+1
=2.
(2)充分性.
若 sin²A+sin²B+sin²C=2,
A,B,C属于(0,pi),且A+B+C=pi,
则 cos 2A +cos 2B +cos 2C
=(1-2sin²A)+(1-2sin²B)+(1-2sin²C)
=3-2(sin²A+sin²B+sin²C)
= -1.
又因为 C=pi-A-B,
所以 cos 2C =cos(2pi-2A-2B)
=cos(2A+2B).
所以 0=cos 2A +cos 2B +cos(2A+2B) +1
=2cos(A+B) cos(A-B) +2cos²(A+B)
=2cos(A+B) [cos(A-B) +cos(A+B)]
=4cos(A+B)cos A cos B.
所以 cos(A+B)=0,或 cos A=0,或cos B=0,
所以 A+B=pi/2,或 A=pi/2,B=pi/2.
所以 △ABC为直角三角形.
综上,△ABC为直角三角形的充要条件
sin²A+sin²B+sin²C=2.
= = = = = = = = =
说明：
sin²A+sin²B+sin²C=2 等价于
cos 2A +cos 2B +cos 2C = -1.
cos²A+cos²B+cos²C=1.
a²+b²+c²=8R².
.

已知如图在△ABC中,AD⊥BC,∠1=∠B,求证：△ABC为直角三角形已知;如图,在△ABC中,AD⊥BC,∠1=∠B,求证;△ABC为直角三角形已知：如图,在△ABC中,AD垂直BC,角1=角B,求证：△ABC为直角三角形. 在△ABC中,CD是中线,AC^2+BC^2=4CD^2.求证：△ABC为直角三角形. 在△ABC中,sin*sinA+sin*sinB=sin*sinC.求证：△ABC是直角三角形. 在△ABC中,sinA＋sinB＝sinC,求证△ABC是直角三角形. 在三角形ABC中,若AD=DB=DC,求证三角形ABC为直角三角形. 证明题三角函数在△ABC中,∠A,∠B为锐角,∠C不是锐角,求证:当tanA*tanB取最小值时,△ABC为直角三角形在△abc中,ab=5,ac=13,bc边上的中线ad=6.求证:△abc为直角三角形D在A的斜下方如图,△ABC中,点点C在AB边上的射影为D,且CD²=AD*DB,求证：△ABC是直角三角形在△ABC中,AD⊥于BC于D,且AD²=BD·DC,求证：△ABC为直角三角形. 如图在△ABC中,AD⊥BC于D,AD^2=BD*DC,求证△ABC为直角三角形在△ABC中,角C最大,且sin²A+sin²B=1求证△ABC为直角三角形如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,∠1=∠B,求证:△ABC是直角三角形在△ABC中,若等试1+cos^2C=cos^2A+cos^2B成立,求证△ABC为直角三角形已知:如图,在△abc中,ad吃,ad⊥bc,∠1=∠b.求证:△abc为直角三角形在△ABC中,求证:△ABC为直角三角形的充要条件是sin²A+sin²B+sin²C=2 如图,在△ABC中,AD是高,且AD²=BD·CD,求证:△ABC为直角三角形