作业帮谢谢各位啦!还来了一个题目： 已知方程：x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的四个根是x1,x2,x3,x4,谢谢各位啦!还来了一个题目：已知方程：x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的四个根是x1,x2,x3,x4,求：arctan(x1)+arctan(x2)+arctan(x3)+arctan
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 03:03:06
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已知方程：x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0的四个根是x1,x2,x3,x4,求：
arctan(x1)+arctan(x2)+arctan(x3)+arctan(x4)=?
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记y1=arctan(x1)+arctan(x2),有 tany1=(x1+x2)/(1-x1x2)
记y2=arctan(x3)+arctan(x4),有 tany2=(x3+x4)/(1-x3x4)
令y=arctan(x1)+arctan(x2)+arctan(x3)+arctan(x4)=y1+y2,
tany=(tany1+tany2)/(1-tany1tany2)
=[(x1+x2)/(1-x1x2)+(x3+x4)/(1-x3x4)]/[1-(x1+x2)(x3+x4)/(1-x1x2)(1-x3x4)]
=[(x1+x2)(1-x3x4)+(x3+x4)(1-x1x2)]/[(1-x1x2)(1-x3x4)-(x1+x2)(x3+x4)]
=[x1+x2+x3+x4-x1x3x4-x2x3x4-x1x2x3-x1x2x4]/[1-x1x2-x3x4+x1x2x3x4-x1x3-x1x4-x2x3-x2x4]
=[s1-s3]/[1-s2+s4]
这里s1=x1+x2+x3+x4,s2=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4,s3=x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4
s4=x1x2x3x4
由韦达定理,有：s1=-a,s2=b,s3=-c,s4=d
因此y=(-a+c)/(1-b+d)
x3+x4=-c<0 （4） 有（1），（3）可知x1<0,x2<0,x3<0,x4<0首先看第一个方程，根＝[-b加减√(b^2-4c)]/2，其中较大的根为 [-b