作业帮平面上有100条直线,它们之间能否恰有1985个不同的交点?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 18:15:09
平面上有100条直线,它们之间能否恰有1985个不同的交点?
平面上有100条直线,它们之间能否恰有1985个不同的交点?
平面上有100条直线,它们之间能否恰有1985个不同的交点?
这个题初看挺复杂,一步步逼近吧：
100条直线若两两相交,可得C(2,100)=4950个交点
设有k个共点的直线是束,每一束中直线的条数为
n1,n2,...,nk(ni≥3,i=1,2,...,k)
有n1+n2+...+nk≤100
这时每一束的交点数减少C(2,n)-1个
为使[C(2,n1)-1]+[C(2,n2)-1]+...+[C(2,nk)-1]=C(2,100)-1985=2965
可取最接近2965的C(2,77)-1=2925代替C(2,n1)-1
取n1=77,类似地取n2=9,n3=4,则有
[C(2,77)-1]+[C(2,9)-1]+[C(2,4)-1]=C(2,100)-1985=2965
这说明：100条直线中,有77条直线共A点,另9条共B点,还有另4条共C点
此外再无“三线共点”或平行线,这时恰好有1985个交点.
所以是存在的,完全可能!
平面里n条直线最多可以有n(n-1)/2个交点(用归纳法可证)
如果出现一组平行线m(m>1)条,则交点数要减少1+2+……(m-1)=m(m-1)/2。这些m(m-1)/2型的数字有：1，3，6，10...
如果出现一组共点线m(m>2)条，则交点数减少1+2+……+(m-2)=(m-1)(m-2)/2。这些(m-1)(m-2)/2型的数字也是1，3，6，10...
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平面里n条直线最多可以有n(n-1)/2个交点(用归纳法可证)
如果出现一组平行线m(m>1)条,则交点数要减少1+2+……(m-1)=m(m-1)/2。这些m(m-1)/2型的数字有：1，3，6，10...
如果出现一组共点线m(m>2)条，则交点数减少1+2+……+(m-2)=(m-1)(m-2)/2。这些(m-1)(m-2)/2型的数字也是1，3，6，10...
这些结论证明略去。
100条最多4950交点。然后考虑怎样减去一些数字凑出1985吧
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