在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 求证：四边形ABEF是菱形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 02:16:46

在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 求证：四边形ABEF是菱形
在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 求证：四边形ABEF是菱形

在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F 求证：四边形ABEF是菱形
证明：
∵ABCD是平行四边形
∴AB//BC
∴∠AFB =∠EBF
∵∠ABF=∠EBF
∴∠ABF=∠AFB
∴AB =AF
同理∠BEA=∠FAE=∠BAE
∴AB=BE
∴AF=BE,AF//BE
∴四边形ABEF是平行四边形
又∵AB=AF
∴四边形ABEF是菱形【邻边相等的平行四边形是菱形】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AD∥BC.（平行四边形的对边平行）
即BE∥AF
∴∠FAE=∠AEB.（两直线平行内错角相等）
∵AE平分∠DAB （已知）
∴∠FAE=∠BAE（角平分线的性质）
∴∠BAE=∠AEB（等量代换）
∴AB=BE（等角对等边）
同理AF=AB
∴BE=AF（等量代换）

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证明：∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AD∥BC.（平行四边形的对边平行）
即BE∥AF
∴∠FAE=∠AEB.（两直线平行内错角相等）
∵AE平分∠DAB （已知）
∴∠FAE=∠BAE（角平分线的性质）
∴∠BAE=∠AEB（等量代换）
∴AB=BE（等角对等边）
同理AF=AB
∴BE=AF（等量代换）
∴BE平行且等于AF
∴四边形ABEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵AB=BE
∴平行四边形ABEF是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形)

收起

因为平行四边形ABCD 所以角ABE+角BAE=180度
又因BE AE平分角ABE 角BAE 所以角BAE=角FAE 角ABF=角EBF AE垂直BE
所以B？=A？ A？=E?（等角对等边）（？代表ABEF中的那一点）
所以ABEF是菱形（运用对角线互相垂直的平行四边形是菱形）