作业帮有下列四个命题,（1)若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,（2）若α,β实不相等的无理数,有下列四个命题,（1）若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,(2)若α,β是不相等的无理数,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 05:23:07
有下列四个命题,（1)若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,（2）若α,β实不相等的无理数,有下列四个命题,（1）若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,(2)若α,β是不相等的无理数,
有下列四个命题,（1)若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,（2）若α,β实不相等的无理数,
有下列四个命题,（1）若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,(2)若α,β是不相等的无理数,则α-β/α+β是无理数,（3）若α,β是不相等的无理数,则平方根α+平方根β是无理数,（4）若α,β都为正有理数,而平方根α和平方根β都是无理,则平方根α+平方根β也是无理数,正确命题给予证明,错误命题举出反例?
有下列四个命题,（1)若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,（2）若α,β实不相等的无理数,有下列四个命题,（1）若α,β是不相等的无理数,则αβ+α-β是无理数,(2)若α,β是不相等的无理数,
(1) 假命题.
因为 αβ +α -β
=(αβ +α) -(β+1) +1
= (α -1) (β+1) +1.
令 α = √2 +1,
β = √2 -1,
则 αβ +α -β =3,
是有理数.
所以 原命题是假命题.
(2) 假命题.
令 α = 2√2,
β = √2,
则 (α -β) /(α +β) =1/3,
是有理数.
所以 原命题是假命题.
(3) 假命题
令 √α = √2 +1>0,
√β = 2 -√2>0,
则 α = 3 +2√2,
β = 6 -4√2.
即 α,β是不相等的无理数.
而 √α +√β =3,
是有理数.
所以 原命题是假命题.
(4) 真命题
假设 x =√α +√β 是有理数,
则 √β = x -√α.
所以 β = x^2 +α -2x √α.
所以 √α =(x^2 +α -β) /2x.
又因为 x,α,β 是有理数,
所以 √α 是有理数,
与 √α 是无理数矛盾.
所以 假设不成立,
即 √α +√β 是无理数.
所以 原命题是真命题.
= = = = = = = = =
解析：
(1) 判断方法：
无理数 +无理数 不一定是无理数.
无理数 *无理数 不一定是无理数.
(2) 对于简单的分式,只要 α/β 的比值是有理数,结果就是有理数.
如果是 (α +β +γ) /(α -β -γ) 类型的, 只要 α :β :γ 是有理数的比就行.
(3) 无理数 +无理数 不一定是无理数.
无理数 的平方 不一定是有理数.
倒过来,找反例就行.
(4) 这是结论,记住就行.
如：√2 +√3, √1.1 +√(1/3), ...