三角形内切圆的题任意一个三角形ABC.,有一个内切圆,其中于BC边相交的切点是D点,过D点向上做圆的直径DE,然后连接AE并延长与BC边相交于F点,求证BF=CD.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 10:37:47

三角形内切圆的题任意一个三角形ABC.,有一个内切圆,其中于BC边相交的切点是D点,过D点向上做圆的直径DE,然后连接AE并延长与BC边相交于F点,求证BF=CD.
三角形内切圆的题
任意一个三角形ABC.,有一个内切圆,其中于BC边相交的切点是D点,过D点向上做圆的直径DE,然后连接AE并延长与BC边相交于F点,求证BF=CD.

三角形内切圆的题任意一个三角形ABC.,有一个内切圆,其中于BC边相交的切点是D点,过D点向上做圆的直径DE,然后连接AE并延长与BC边相交于F点,求证BF=CD.
证明：
过E作内切圆切线交AB、AC于J、K
连接IJ、IB、IG、IK、IC、IH
∵切线JK、BJ交于点J
∴∠JIE=∠JIG
同理可知：∠IBD=∠IBG
又∵∠GIE+∠GID=∠DBG+∠GID=180°
∴2∠JIE=∠GIE=∠DBG=2∠IBD
∴∠JIE=∠IBD
又∵∠BDI=∠IEJ=90°
∴△IDB∽△JEI
∴JE/IE=ID/BD
∴JE*BD=IE*ID=r^2
同理可证：△IEK∽△CDI
∴EK*CD=IE*ID=r^2
∴JE*BD=EK*CD=r^2
∴JE/EK=CD/BD
∵∠DEK=∠EDC=90°
∴JK‖BC
∴JE/EK=(JE/AE)*(AE/EK)=(BF/AF)*(AF/CF)=BF/CF
∴BF/CF=CD/BD
即：CF/BF=BD/CD
上式两边加1：
CF/BF+1=BD/CD+1
∴(CF+BF)/BF=(BD+CD)/CD
∴BC/BF=BC/CD
∴BF=CD
证毕!

常见结论：
F是角A对应旁切圆跟BC的切点 D是内切圆切BC切点
F跟D关于BC中点M对称
结果：BF=CD=p-b (p是半周长）

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