作业帮在三角形ABC中,AD是角A的平分线,求证：AD平方=AB*AC-BD*DC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:12:54
在三角形ABC中,AD是角A的平分线,求证：AD平方=AB*AC-BD*DC
在三角形ABC中,AD是角A的平分线,求证：AD平方=AB*AC-BD*DC
在三角形ABC中,AD是角A的平分线,求证：AD平方=AB*AC-BD*DC
在AC上取一点M,使角ADM=角ABC,所以三角形ABD相似于三角形ADM,所以AB/AD=AD/AM,即AD^2=AB*AM,只需证明AB*AM=AB*AC-BD*DC 化简即 AB*MC=BD*DC 由图可知 三角形CMD相似于三角形CDA ,所以CM*CD=CD*AC 再由三角形角平分线定理可知 AB/AC=BD/DC 即CD/AC=AB/BD 所以 CM/CD=AB/BD 所以AB*CM=BD*DC 从而得之结论!边看边画图 加油!
AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的。
理由如下： 在△ABC中，延长AB到E，使BE＝BD，则AE=AB+BD．
在AC边上取点F，使CF＝CD，则AF=AC－CD．
连结ED，FD．我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．
而在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2；
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠...
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AB*AC-DB*DC=AD*AD是成立的。
理由如下： 在△ABC中，延长AB到E，使BE＝BD，则AE=AB+BD．
在AC边上取点F，使CF＝CD，则AF=AC－CD．
连结ED，FD．我们只要能证明△AED与△ADF相似就可以了．
而在△AED与△ADF中，∠EAD=∠DAF=∠A/2；
∠CDF+∠CFD=180°-∠C=∠A+∠B,即∠CFD=(∠A+∠B)/2；
故∠ADF=∠CFD-∠A/2=(∠A+∠B)/2-∠A/2=∠B/2=∠AED；
所以△AED～△ADF，则AE/AD=AD/AF，即 AD^2＝AE×AF＝(AB＋BD)(AC－CD)=AB*AC-AB*CD+AC*BD-BD*CD；
另外，过C作DA的平行线交BA延长线于G点，则有BD/DC=BA/AG，因为∠AGC=∠BAD=∠DAC=ACG，所以AC=AG。代入比例式得：BD/DC=BA/AC，
即：AB*CD=AC*BD，
所以
AD^2＝AB*AC-BD*CD，即AB*AC-DB*DC=AD*AD成立。
参考:
作三角形ACE相似于三角形ADB（延长AD至E）
三角形ADB相似于三角形ACE，三角形CDE
由相似得AC/AD=AE/AB AD/CD=BD/ED
所以AB*AC=AD*AE AD*ED=BD*CD
AB*AC=AD*(AD+DE)
=AD^2+AD*DE
=AD^2+BD*CD
故AD^2=AB*AC-BD*DC
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