高一数学(平面向量的线性运算)设a、b是两个不共线且起点相同的非零向量,如果a,tb,(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上,则t=________.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 08:06:11
高一数学(平面向量的线性运算)设a、b是两个不共线且起点相同的非零向量,如果a,tb,(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上,则t=________.

高一数学(平面向量的线性运算)设a、b是两个不共线且起点相同的非零向量,如果a,tb,(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上,则t=________.
高一数学(平面向量的线性运算)
设a、b是两个不共线且起点相同的非零向量,如果a,tb,(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上,则t=________.

高一数学(平面向量的线性运算)设a、b是两个不共线且起点相同的非零向量,如果a,tb,(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上,则t=________.
令向量A=a-tb
向量B=a-(1/3)(a+b)
那么a,tb,(1/3)(a+b)三向量终点在同一直线上就等价于向量A和B共线,即
A=kB,k是比例系数
a-tb=k[a-(1/3)(a+b)],化简得到
[1-(2/3)k]a=[t-(1/3)k]b
因为a、b不共线,那么
1-(2/3)k=0且t-(1/3)k=0,解得
k=3/2,t=1/2

把三个向量起点都放到原点,则三个向量终点共线等价于存在非零实数r,满足
(1/3)(a+b)-a=r(tb-a),化简得(r-2/3)a=(rt-1/3)b,而a和b不共线且非零,所以有r-2/3=0和rt-1/3=0,得t=1/2.
另外,画个图,由相似三角形比例关系立即可知t=1/2.

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