作业帮求极限：lim(3^x+4^x+5^x)^1/x当x趋近无穷大的时候的极限.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 05:14:48
求极限：lim(3^x+4^x+5^x)^1/x当x趋近无穷大的时候的极限.
求极限：lim(3^x+4^x+5^x)^1/x
当x趋近无穷大的时候的极限.
求极限：lim(3^x+4^x+5^x)^1/x当x趋近无穷大的时候的极限.
若x趋近于+∞
lim(3^x+4^x+5^x)^1/x=lime^[ln(3^x+4^x+5^x)/x]
=lime^[ln5^x*(3/5^x+4/5^x+1)/x]
=lime^[(ln5^x)/x+ln(3/5^x+4/5^x+1)/x]
=e^[ln5+0/x]=e^(ln5)=5
若x趋近于-∞
原式==lime^[ln3^x*(5/3^x+4/3^x+1)/x]
=lime^[(ln3^x)/x+ln(5/3^x+4/3^x+1)/x]
=e^ln3
=3
所以若x趋近于∞时极限不存在
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楼上的答案中
5^x
5^x<3^x+4^x+5^x<3*5^x.............(*)
当x>0时，(*)化为5<(3^x+4^x+5^x)^(1/x)<5*3^(1/x)
当x→+∞时，不等式左右两端极限都是5，所以
lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→+∞
当x<0时，(*)化为5*3^(1/x)<(3^x+4^x+5^x)^(1/x)<5
当x→...
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5^x<3^x+4^x+5^x<3*5^x.............(*)
当x>0时，(*)化为5<(3^x+4^x+5^x)^(1/x)<5*3^(1/x)
当x→+∞时，不等式左右两端极限都是5，所以
lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→+∞
当x<0时，(*)化为5*3^(1/x)<(3^x+4^x+5^x)^(1/x)<5
当x→-∞时，不等式左右两端极限都是5，所以
lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→-∞
总的来说lim(3^x+4^x+5^x)^(1/x)=5,x→∞
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