作业帮y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域RT
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:28:44
y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域RT
y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域
RT
y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域RT
一楼的解法过繁,二楼的做法中少了t=-1,即sinx+cosx+1=0的情况.
我有一个简单而且正确的方法：
注意到：(1+sinx+cosx)(1-sinx-cosx)=1-(sinx+cosx)^2=-2sinxcosx ……①,所以：
（1）当1+sinx+cosx＝0时容易知道sinx,cosx中有一个是0.此时(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝0.
（2）当1+sinx+cosx≠0时,由①式(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)＝-1/2*(1-sinx-cosx)=-1/2+(sinx+cosx)/2.
而由于sinx+cosx=√2*sin(x+π/4),所以-√2≤sinx+cosx≤√2.因此-(√2+1)/2≤-1/2+(sinx+cosx)/2≤(√2-1)/2.
综上所述,y=(sinx*cosx)/(1+sinx+cosx)的值域是[-(√2+1)/2,(√2-1)/2].
令sinx+cosx=t, t*t=1+2sinxcosx
那么sinxcosx=(t*t-1)/2
那么y=(t*t-1)/2/(t+1)=(t-1)/2
t=sinx+cosx=根号2*sin(x+Pi/4) (Pi是圆周率)
所以 -根号2<=t<=根号2
所以 (-根号2-1)/2<=y<=(根号2-1)/2
(补充: 由于分母=(t+1)≠0, 所以t≠-1
所以y≠-1.)
正解
(1)
y=(1+3sinx)/(2-cosx)
化简并整理，得：
3sinx+ycosx=2y-1
引进辅助角，有：
根号(9+y*y)*sin(x+t)=2y-1
于是左边的值域为 -根号(9+y*y) 到 根号(9+y*y)
所以
根号(9+y*y)>=|2y-1|
于是 9+y*y>=4*y*y-4*...
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(1)
y=(1+3sinx)/(2-cosx)
化简并整理，得：
3sinx+ycosx=2y-1
引进辅助角，有：
根号(9+y*y)*sin(x+t)=2y-1
于是左边的值域为 -根号(9+y*y) 到 根号(9+y*y)
所以
根号(9+y*y)>=|2y-1|
于是 9+y*y>=4*y*y-4*y+1
解不等式，有
(4-4根号7)/6<=y<=(4+4根号7)/6
(2)
令sinx+cosx=t, t*t=1+2sinxcosx
那么sinxcosx=(t*t-1)/2
那么y=(t*t-1)/2/(t+1)=(t-1)/2
t=sinx+cosx=根号2*sin(x+Pi/4) (Pi是圆周率)
所以 -根号2<=t<=根号2
所以 (-根号2-1)/2<=y<=(根号2-1)/2
(补充: 由于分母=(t+1)≠0, 所以t≠-1
所以y≠-1.)
收起
令sinx+cosx=t, t*t=1+2sinxcosx
那么sinxcosx=(t*t-1)/2
那么y=(t*t-1)/2/(t+1)=(t-1)/2
t=sinx+cosx=根号2*sin(x+Pi/4) (Pi是圆周率)
所以 -根号2<=t<=根号2
所以 (-根号2-1)/2<=y<=(根号2-1)/2
(补充: 由于分母=(t+1)≠0, 所以t≠-1
所以y≠-1.)
那么多答案啊。。。