1994年我国粮食总产量达到4500亿千克,年人均375千克,据统计,我国现有耕地1.39亿公顷,其中约有一半山地、丘陵,平原地区平均产量已超过4000千克/公顷,1994年我国山地、丘陵地区粮食产量达到多

1994年我国粮食总产量达到4500亿千克,年人均375千克,据统计,我国现有耕地1.39亿公顷,其中约有一半山地、丘陵,平原地区平均产量已超过4000千克/公顷,1994年我国山地、丘陵地区粮食产量达到多
1994年我国粮食总产量达到4500亿千克,年人均375千克,据统计,我国现有耕地1.39亿公顷,其中约有一半山地、丘陵,平原地区平均产量已超过4000千克/公顷,1994年我国山地、丘陵地区粮食产量达到多少千克?

1994年我国粮食总产量达到4500亿千克,年人均375千克,据统计,我国现有耕地1.39亿公顷,其中约有一半山地、丘陵,平原地区平均产量已超过4000千克/公顷,1994年我国山地、丘陵地区粮食产量达到多
我来回答；2001年全国初中数学联赛\x0d
一、选择题（每小题7分,共42分）\x0d
1、a,b,c为有理数,且等式 成立,则2a+999b+1001c的值是（ ）\x0d
（A） 1999（B）2000（C）2001（D）不能确定\x0d
2、若 ,且有5a2+2001a+9=0及 ,则 的值是（ ）\x0d
（A） （B） （C） （D） \x0d
3、已知在△ABC中,∠ACB=900,∠ABC=150,BC=1,则AC的长为（ ）\x0d
（A） （B） （C） （D） \x0d
4、如图,在△ABC中,D是边AC上的一点,下面四种情况中,△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）\x0d
（A） （B） \x0d
（C）∠ABD=∠ACB （D） \x0d
5、①在实数范围内,一元二次方程 的根为 ；②在△ABC中,若 ,则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和 中,a,b,c分别为△ABC的三边, 分别为 的三边,若 ,则△ABC的面积S大于 的面积 .以上三个命题中,假命题的个数是（ ）\x0d
（A）0（B）1（C）2（D）3\x0d
6、某商场对顾客实行优惠,规定：①如一次购物不超过200元,则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的,按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分则给予八折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品,则应付款是（ ）\x0d
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8\x0d
\x0d
二、填空题（每小题7分,共28分）\x0d
1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0,1）,O为坐标原点,∠QPO=1500,且P到Q的距离为2,则Q的坐标为 .\x0d
2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P,则点P到两圆外公切线的距离为 .\x0d
3、已知 是正整数,并且 ,则 = .\x0d
4、一个正整数,若分别加上100和168,则可得到两个完全平方数,这个正整数为 .\x0d
三、 解答题（共70分）\x0d
1、在直角坐标系中有三点A（0,1）,B（1,3）,C（2,6）；已知直线 上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F.试求 的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值.（20分）\x0d
（1） 证明：若 取任意整数时,二次函数 总取整数值,那么 都是整数；\x0d
（2）写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论.（25分）\x0d
3、如图,D,E是△ABC边BC上的两点,F是BC延长线上的一点,∠DAE=∠CAF.（1）判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论；（2）若△ABD的外接圆的半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
解答题：\x0d
1、 如图,EFGH是正方形ABCD的内接四边形,两条对角线EG和FH所夹的锐\x0d
角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角.已知EG=k,FH= ,四边形EFGH的面积为S. \x0d
（1）求证：sinθ= ；\x0d
（2）试用 来表示正方形的面积.\x0d
2、 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程 , , \x0d
的所有的根都是正整数.\x0d
3、在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足.O为△ABC的外心.\x0d
求证：（1）△AEF∽△ABC；\x0d
（2）AO⊥EF\x0d
4、如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,直线 平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.\x0d
求证：PM PN＝PR PS\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
 \x0d
2002年全国初中数学联合竞赛试卷\x0d
（2002年4月21日8：30—10：30）\x0d
\x0d
一、选择题（本题42分,每小题7分）\x0d
1、已知a= -1,b=2 - ,c= -2,那么a,b,c的大小关系是（ ）\x0d
(A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a (D)c<a<b\x0d
2、若m2=n+2,n2=m+2(m≠n),则m3-2mn+n3的值为（ ）\x0d
(A) 1 (B)0 (C)-1 (D)-2\x0d
3、已知二次函数的图象如图所示,并设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|,则（ ）\x0d
(A)M>0 (B)M＝0 (C)M <0 (D)不能确定M为正、为负或为0\x0d
4、直角三角形ABC的面积为120,且∠BAC=90º,AD是斜边上的中线,过D作DE⊥AB于E,连CE交AD于F,则△AFE的面积为（ ） \x0d
(A)18 (B)20 (C)22 (D)24\x0d
5、圆O1与O2圆外切于点A,两圆的一条外公切线与圆O1相切于点B,若AB与两圆的另一条外公切线平行,则圆O1与圆O2的半径之比为（ ）\x0d
(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：3\x0d
6、如果对于不小于8的自然数n,当3n+1是一个完全平方数是,n+1都能表示成个k完全平方数的和,那么k的最小值为（ ）\x0d
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
二、填空题（每小题7分,共28分）\x0d
1、已知a<0,ab<0,化简, .\x0d
2、如图,7根圆形筷子的横截面圆的半径均为r,则捆扎这7根筷子一周的绳子和长度为 \x0d
3、甲乙两人到特价商店购买商品,已知两人购买商品的件数相等,且每件商品的单价只有8元和9元,若两人购买商品一共花费了172元,则其中单价为9元的商品有 件.\x0d
4、设N=23x+92y为完全平方数,且不超过2392,则满足上述条件的一切正整数对（x,y）共有 对.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
三、（本题满分70分）\x0d
1、（本题满分20分）\x0d
已知：a ,b,c三数满足方程组 ,试求方程bx2+cx-a=0的根.\x0d
\x0d
2、（本题满分25分）\x0d
如图,等腰三角形ABC中,P为底边BC上任意点,过P作两腰的平行线分别与AB,AC相交于Q,R两点,又P`的对称点,证明：P'在△ABC的外接圆上.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
3、（本题满分25分）\x0d
试确定一切有理数r,使得关于x的方程rx2+(r+2)x+r-1=0有且只有整数根.\x0d
\x0d
\x0d
 \x0d
\x0d
参考答案\x0d
一、BDCBCC\x0d
二、1、 2、 3、12 4、27\x0d
三、1、由方程组得：a、b是方程x2-8x+c2- c+48=0的两根\x0d
△=-4(c- )2≥0,c=4 a=b=4\x0d
所以原方程为 x2+ x-1=0\x0d
x1= ,x2= \x0d
2、连结BP'、P'R、P'C、P'P\x0d
（1）证四边形APPQ为平行四边形\x0d
（2）证点A、R、Q、P'共圆\x0d
（3）证△BP'Q和△P'RC为等腰三角形\x0d
（4）证∠P'BA=∠ACP',原题得证\x0d
\x0d
3、（1）若r=0,x= ,原方程无整数根\x0d
（2）当r≠0时,x1+x2= x1x2= \x0d
消去r得：4x1x2-2(x1+x2)+1=7 得(2x1-1)(2x2-1)=7\x0d
由x1、x2是整数得：r= ,r=1\x0d
\x0d
 \x0d
2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题\x0d
一、选择题（每小题7分,共42分）\x0d
1、2 ＝＿＿.A 5－4 B4 －1 C5 D1\x0d
2、在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是＿＿个.A0 B1 C3 D5\x0d
3、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为＿＿.A1 B2 Ck Dk2\x0d
4、满足等式x ＝2003的正整数对的个数是＿＿.A1 B2 C3 D4\x0d
5、设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且AD∶AB＝1∶3.若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为 ,则 的值为＿＿.A B C D \x0d
6、如图,在平行四边形ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切,若AB＝4,BE＝5,则ED的长为＿＿.A3 B4 C D \x0d
二、填空题（每小题7分,共28分）\x0d
1、 抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,则ac＝＿＿＿＿.\x0d
2、 设m是整数,且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－ 而小于 ,则m=_______.\x0d
3、 如图,AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA1＝BB1＝AB,则∠BAC的度数为＿＿.\x0d
4、 已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是＿＿.\x0d
\x0d
一、（本题满分20分）\x0d
试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数．\x0d
三、（本题满分20分）\x0d
在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE＝DF；过E,F分别作CA、CB的垂线,相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等,且a＋ ＝b＋ ＝c＋ ＝d+ ＝x,试求x的值.\x0d
\x0d
\x0d
三、（本题满分25分）\x0d
已知四边形ABCD的面积为32,AB,CD,AC的长都是整数,且它们的和为16．\x0d
⑴这样的四边形有几个?\x0d
⑵求这样的四边形边长的平方和的最小值．\x0d
2003年全国初中数学联赛答案：\x0d
第一试\x0d
一、1、(D)；\x0d
2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360º,故外角中钝角的个数不超过3个,即内角中锐角最多不超过3个.\x0d
3、(A)；设A( ),则 ,故 .又因为△ABO与△CBO同底等高,因此, \x0d
4、(B)；由已知等式可得 \x0d
而 ,所以, .故 \x0d
又因为2003为质数,必有 或 \x0d
5、(B)；如图3,连结BE, \x0d
设 ,则 .\x0d
.故 \x0d
6、(D)；如图4,连结AC、CE.\x0d
由AE‖BC,知四边形ABCE是等腰梯形.故AC＝BE＝5.\x0d
又因为Dc‖AB,DC与圆相切,所以,∠BAC＝∠ACD＝∠ABC.\x0d
则AC＝BC＝AD＝5,DC＝AB＝4\x0d
因为 ,故 \x0d
二、1、－1；设A .由△ABC是直角三角形可知 必异号.则 \x0d
由射影定理知 ,即 ；故 \x0d
2、4；由题设可知, \x0d
解得 .故 \x0d
3、12º；设∠BAC的度数为 \x0d
因 ,故∠ 又 ,则\x0d
∠ ＝∠CBD＝ .因为∠ \x0d
故 ,解得 º\x0d
4、225；设( )＝ ,且 , ,其中 , 与 互质.于是 的最小公倍数为 .依题意有\x0d
,即 \x0d
又 ,据式(2)可得 \x0d
根据式(1),只能取 ,可求得 \x0d
故两个数中较大的数是 .\x0d
第二试\x0d
A卷\x0d
一、设前后两个二位数分别为 , \x0d
有 ；即 \x0d
当△＝ \x0d
即 ,则 时,方程有实数解 \x0d
由于 必为完全平方数,而完全平方数的未位数字仅可能为0,1,4,5,6,9,故 仅可取25；此时, 或 \x0d
故所求四位数为2025或3025\x0d
二、(1)如图,据题设可知,DM‖BN,DM＝BN,DN‖AM,DN＝AM\x0d
故∠AMD＝∠BND\x0d
因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点,\x0d
所以,EM＝AM＝DN,FN＝BN＝DM\x0d
又已知DE＝DF,故△DEM≌△FDN\x0d
(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND,则∠AME＝∠BNF\x0d
而△AME、△BNF均为等腰三角形,所以,∠PAE＝∠PBF\x0d
三、由已知有\x0d
①； ②； ③； ④\x0d
由式①解出 ⑤\x0d
式⑤代入式②得 ⑥\x0d
将式⑥代入③得 \x0d
即 ⑦\x0d
由式④得 ,代入式⑦得 \x0d
由已知 ,故 \x0d
若 ,则由式⑥可得 ,矛盾.故有 \x0d
B卷\x0d
一、同(A卷)第一题的解答.\x0d
二、如图,分别取AP、BP的中点M、N.连结EM、DM、FN、DN.由D是AB的中点,则\x0d
DM‖BN,DM＝BN,DN‖AM,DN＝AM.故∠AMD＝∠BND.\x0d
又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点,所以,\x0d
EM＝AM＝DN,FN＝BN＝DM.\x0d
因为DE＝DF,则△DEM≌△FDN\x0d
故∠EMD＝∠FND,从而,∠AME＝∠BNF\x0d
而△AME、△BNF均为等腰三角形,故∠PAE＝∠PBF\x0d
三、(1)如图,记AB＝a,CD＝b,AC＝ ,并设△ABC的边AB上的高为 ,△ADC的边DC上的高为 .则\x0d
＝ \x0d
仅当 时等号成立.即在四边形ABCD中,当AC⊥AB,AC⊥CD时等号成立.\x0d
由已知可得 \x0d
又由题设 ,可得 \x0d
于是, ,且这时AC⊥AB,AC⊥CD\x0d
因此,这样的四边形有如下4下：\x0d
, \x0d
\x0d
它们都是以AC为高的梯形或平行四边形.\x0d
(2)又由AB＝ ,CD＝ ,则 \x0d
因此,这样的四边形的边长的平方和为\x0d
\x0d
故当 时,平方和最小,且为192\x0d
(C)卷\x0d
一、同(A卷)第三题的解答.\x0d
二、除图的形式不同(如图)外,解答同(B卷)第二题\x0d
三、同(B卷)第三题解答.\x0d
\x0d
 \x0d
2004年全国初中数学联合数学竞赛试题\x0d
第一试\x0d
一．选择题\x0d
1．已知abc≠0,且a+b+c=0, 则代数式 的值是（ ）\x0d
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0\x0d
2．已知p,q均为质数,且满足5p2+3q=59,则以p+3,1-p+q,2p+q-4为边长的三角形是（ ）\x0d
(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰三角形\x0d
3． 一个三角形的边长分别为a,a,b,另一个三角形的边长分别为b,b,a,其中a>b,若两个三角形的最小内角相等,则 的值等于（ ）\x0d
(A) (B) (C) (D) \x0d
4．过点P(-1,3)作直线,使它与两坐标轴围成的三角形面积为5,这样的直线可以作（ ）\x0d
(A) 4条 (B) 3条 (C) 2条 (D) 1条\x0d
5．已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为（ ）\x0d
(A) (B) (C) (D) \x0d
6．如图,在2×3矩形方格纸上,各个小正方形的顶点称为格点,则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（ ）\x0d
(A) 24 (B) 38 (C) 46 (D) 50\x0d
\x0d
\x0d
二．填空题\x0d
1．计算 = .\x0d
2．如图ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P,延长AP交BC于点N,则 = .\x0d
\x0d
3．实数a,b满足a3+b3+3ab=1,则a+b= .\x0d
4．设m是不能表示为三个合数之和的最大整数,则m= .\x0d
\x0d
\x0d
第二试（A）\x0d
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值.\x0d
\x0d
二． 已知如图,梯形ABCD中,AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M,EP⊥l于P,FQ⊥l于Q.\x0d
求证：EP=FQ\x0d
\x0d
三． 已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F.将 表示为自变量t的函数.\x0d
\x0d
\x0d
第二试（B）\x0d
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值.\x0d
\x0d
二． 已知如图,梯形ABCD中,AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF,设线段AD的垂直平分线l交线段EF于点M.\x0d
求证：M为EF的中点.\x0d
\x0d
三． 已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F.将 表示为自变量t的函数.\x0d
\x0d
第二试（C）\x0d
一． 已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值.\x0d
\x0d
二． 已知如图,梯形ABCD中,AD‖BC, 以两腰AB,CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF, 连接EF,设线段EF的中点为M.\x0d
求证：MA=MD.\x0d
\x0d
三． 已知点A(0,3),B(-2,-1),C(2,-1) P(t,t2)为抛物线y＝x2上位于三角形ABC内（包括边界）的一动点,BP所在的直线交AC于E, CP所在的直线交AB于F.将 表示为自变量t的函数.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
 \x0d
\x0d
\x0d
\x0d
参考答案：\x0d
一试\x0d
一．ABBCBD\x0d
二．1． 2． 3．1或-2 4．17\x0d
二试\x0d
一． -18,-8,0,10\x0d
二． （略）\x0d
三． \x0d
\x0d
 \x0d
2005年全国初中数学联赛初赛试卷\x0d
3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30\x0d
\x0d
学校___________ 考生姓名___________\x0d
题 号 一 二 三 四 五 合 计\x0d
得 分 \x0d
评卷人 \x0d
复核人 \x0d
一、选择题（每小题7分,共计42分）\x0d
1、若a、b为实数,则下列命题中正确的是（ ）\x0d
（A）a＞b a2＞b2 (B)a≠b a2≠b2 (C)|a|＞b a2＞b2 (D)a＞|b| a2＞b2\x0d
2、已知：a+b+c=3,a2+b2+c2=3,则a2005+b2005+c2005的值是（ ）\x0d
（A） 0 (B) 3 (C) 22005 (D)3•22005\x0d
3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成,黑皮为正五边形,白皮为正六边形,（如图）,如果缝制好的这种足球黑皮有12块,则白皮有（ ）块. \x0d
(A) 16 (B) 18 (C) 20 (D) 22\x0d
4、在Rt△ABC中,斜边AB=5,而直角边BC、AC之长是一元二次方程x2－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根,则m的值是（ ）\x0d
（A）4 （B）－1 （C）4或－1 （D）－4或1\x0d
5、在直角坐标系中,横坐标都是整数的点称为整点,设k为整数,当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时,k的值可以取（ ）\x0d
（A）2个 （B）4个 （C）6个 （D）8个\x0d
6、如图,直线x=1是二次函数 y=ax2+bx+c的图像的对称轴,则有（ ）\x0d（A）a+b+c=0 （B）b＞a+c （C）c＞2b （D）abc＜0\x0d
二、填空题 （每小题7分,共计28分）\x0d
1、已知：x为非零实数,且 = a, 则 =_____________. \x0d
2、已知a为实数,且使关于x的二次方程x2+a2x+a = 0有实根,则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.\x0d
3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点,PC与⊙o相切于点C,∠APC的角平分线交AC于Q,则\x0d
则∠PQC = _________.\x0d
4、对于一个自然数n,如果能找到自然数a和b,使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”,例如：\x0d
3=1+1+1×1,则3是一个“好数”,在1~20这20个自然数中,“好数”共有__________个.\x0d
三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x2+4x－2上的点,原点位于线段AB的中点处.\x0d
试求A、B两点的坐标.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
四、（本题满分25分）如图,AB是⊙o的直径,AB=d,过A作⊙o的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC叫⊙o于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数,如果x2 = y , = 2,试求积abc的所有可能的值.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
 \x0d
\x0d
2005年全国初中数学联赛决赛试卷\x0d
一、选择题：(每题7分,共42分)\x0d
1、化简： 的结果是＿＿.\x0d
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数\x0d
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿.\x0d
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102\x0d
3、设r≥4,a＝ ,b＝ ,\x0d
c＝ ,则下列各式一定成立的是＿＿.\x0d
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a\x0d
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是＿＿.\x0d
A、 B、 C、 D、 \x0d
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示, y\x0d
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|,q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|,则＿＿.\x0d
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定\x0d
0 1 x\x0d
6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242,则 的未位数字是＿＿.\x0d
A、1 B、3 C、5 D、7\x0d
二、填空题(共28分)\x0d
1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为＿＿.\x0d
2、 x＝＿＿＿.\x0d
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿.\x0d
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C,用a表示A－B,B－C以及90°－A中的最小者,则a的最大值为＿＿＿.\x0d
三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)\x0d
1、a、b、c为实数,ac＜0,且 ,证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
2、锐角ΔABC中,AB＞AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,过D作BC的垂线交BE于F,交CA的延长线于P,过E作BC的垂线,交CD于G,交BA的延长线于Q,证明：BC、DE、FG、PQ四条直线相交于一点.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
3、a、b、c为正整数,且a2＋b3＝c4,求c的最小值.\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
 \x0d
2005年全国联赛决赛试卷详解\x0d
一、选择题：(每题7分,共42分)\x0d
1、化简： 的结果是＿＿.\x0d
A、无理数 B、真分数 C、奇数 D、偶数\x0d
\x0d
\x0d
所以选D\x0d
2、圆内接四条边长顺次为5、10、11、14；则这个四边形的面积为＿＿.\x0d
A、78.5 B、97.5 C、90 D、102\x0d
由题意得：\x0d
52＋142－2×5×14×cosα＝102＋112－2×10×11×cos(180°－α)\x0d
∴221－140cosα＝221＋220 cosα\x0d
∴cosα＝0\x0d
∴α＝90°\x0d
∴四边形的面积为：5×7＋5×11＝90\x0d
∴选C\x0d
3、设r≥4,a＝ ,b＝ ,c＝ ,则下列各式一定成立的是＿＿.\x0d
A、a>b>c B、b>c>a C、c>a>b D、c>b>a\x0d
解法1：用特值法,取r=4,则有\x0d
a= ,b＝ ,\x0d
c＝ \x0d
∴c>b>a,选D\x0d
解法2：a＝ ,\x0d
b＝ \x0d
c＝ \x0d
\x0d
解法3：∵r≥4 ∴ ＜1\x0d
∴ \x0d
c＝ \x0d
∴a<b<c,选D\x0d
4、图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成,如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和,则这两圆的公共弦长是＿＿.\x0d
A、 B、 C、 D、 \x0d
由图形割补知圆面积等于矩形ABCD的面积\x0d
∴ \x0d
由垂径定理得公共弦为 \x0d
∴选D\x0d
\x0d
5、已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示, \x0d
记p＝|a－b＋c|＋|2a＋b|,q＝|a＋b＋c|＋|2a－b|,则＿＿.\x0d
A、p>q B、p＝q C、p<q D、p、q大小关系不能确定\x0d
由题意得：a<0,b>0,c=0\x0d
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|,q＝|a＋b|＋|2a－b|\x0d
又 \x0d
∴p＝|a－b|＋|2a＋b|＝b-a+2a+b=a+2b=2b+a,\x0d
q＝|a＋b|＋|2a－b|= a＋b＋b-2a=2b-a\x0d
∴p<q,选C \x0d
6、若x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,满足(2005－x1)(2005－x2)(2005－x3)(2005－x4)(2005－x5)＝242,则 的未位数字是＿＿.\x0d
A、1 B、3 C、5 D、7\x0d
因为x1,x2,x3,x4,x5为互不相等的正奇数,所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)为互不相等的偶数\x0d
而将242分解为5个互不相等的偶数之积,只有唯一的形式：242＝2•(-2)•4•6•(-6)\x0d
所以(2005－x1)、(2005－x2)、(2005－x3)、(2005－x4)、(2005－x5)分别等于2、(-2)、4、6、(-6)\x0d
所以(2005－x1)2＋(2005－x2)2＋(2005－x3) 2＋(2005－x4) 2＋(2005－x5) 2＝22＋(-2) 2＋42＋62＋(-6) 2＝96\x0d
展开得： \x0d
\x0d
二、填空题(共28分)\x0d
1、不超过100的自然数中,将凡是3或5的倍数的数相加,其和为＿＿.\x0d
(3×1＋3×2＋……3×33)＋(5×1＋5×2＋……5×20)－(15×1＋15×2＋……15×6)＝1683＋1050－315＝2418\x0d
2、 x＝＿＿＿.\x0d
分子有理化得： \x0d
∵x≠0,\x0d
∴ \x0d
两边平方化简得： \x0d
再平方化简得： \x0d
3、若实数x、y满足 则x＋y＝＿＿.\x0d
解法1：假设x＋y＝a,则y＝a－x\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
解法2：易知 \x0d
化简得： \x0d
\x0d
4、已知锐角三角形ABC的三个内角A、B、C满足：A＞B＞C,用a表示A－B,B－C以及90°－A中的最小者,则a的最大值为＿＿＿.\x0d
\x0d
\x0d
三、解答题(第1题20分,第2、3题各25分)\x0d
1、a、b、c为实数,ac＜0,且 ,证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.\x0d
设 \x0d
\x0d
\x0d
\x0d
∴ \x0d
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有大于 而小于1的根.\x0d
2、锐角ΔABC中,AB＞AC,CD、BE分别是AB、AC边上的高,DE 与BC的延长线于交于T,过D作BC的垂线交BE于F,过E作BC的垂线交CD于G,证明：F、G、T三点共线.\x0d
证法1：设过D、E的垂线分别交BC于M、N,在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由射影定理得：\x0d
CE2＝CN•CB,BD2＝BM•BC\x0d
∴ \x0d
又Rt△CNG ∽Rt△DCB,Rt△BMF ∽Rt△BEC,\x0d
∴ \x0d
∴ \x0d
在Rt△BEC 与Rt△BDC中,由面积关系得：BE•CE＝EN•BC,BD•CD＝DM•BC\x0d
∴ \x0d
由(1)(2)得： \x0d
证法2：设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,记DF、EG、AH与BC的交点分别为M、N、R\x0d
∵DM‖AR‖EN\x0d
∴ \x0d
\x0d
\x0d
由合比定理得： \x0d
证法3：在△ABC中,直线DET分别交BC、CA、AB于T、E、D,由梅涅劳斯定理得：\x0d
\x0d
设CD、BE相交于点H,则H为△ABC的垂心,AH⊥BC\x0d
∵DF⊥BC、EG⊥BC\x0d
∴AH ‖DF ‖EG\x0d
∴ \x0d
由梅涅劳斯定理的逆定理得：F、G、T三点共线.\x0d
\x0d
\x0d
证法4：连结FT交EN于G’,易知 \x0d
为了证明F、G、T三点共线,只需证明 即可\x0d
∵ \x0d
\x0d
又 \x0d
∴ \x0d
∵CD⊥AB、BE⊥CA,∴B、D、E、C四点共圆\x0d
∴∠ABE＝∠ACD (2)\x0d
又 (3)\x0d
将(2) (3)代入（1）得： ,故F、G、T三点共线.\x0d
3、设a、b、c为正整数,且a2＋b3＝c4,求c的最小值.\x0d
显然c＞1.由题设得：(c2-a)(c2+a)=b3\x0d
若取 \x0d
由大到小考察b,使 为完全平方数,易知当b＝8时,c2＝36,则c=6,从而a=28.下面说明c没有比6更小的正整数解,列表如下：\x0d
c c4 x3(x3<c4) c4-x3\x0d
2 16 1,8 17,8\x0d
3 81 1,8,27,64 80,73,54,17\x0d
4 256 1,8,27,64,125,216 255,248,229,192,131,40\x0d
5 625 1,8,27,64,125,216,343,512 624,617,598,561,500,409,282,113\x0d
显然,表中c4-x3的值均不是完全平方数.故c的最小值为6\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
\x0d
 \x0d
\x0d
\x0d
参考答案：一、1、D 原式= \x0d
2、C ∵52+142=221=102+112 ∠A、 ∠C都是直角\x0d
3、D \x0d
4、D 5、C 6、A\x0d
二、1、2418 2、 3、x＋y＝33＋43＋53＋63＝432 4、15°\x0d
三、1、略 2、略 3、c的最小值为6. 23758