作业帮f(x)=cos2x-cos4x 周期为π 怎么算
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 04:56:21
f(x)=cos2x-cos4x 周期为π 怎么算
f(x)=cos2x-cos4x 周期为π 怎么算
f(x)=cos2x-cos4x 周期为π 怎么算
思路
法1：
首先,你要知道“周期”这个概念是怎么引出来的.教材上说的是一个函数f(t),对于任意一个t,经过了T时间,即f(t+T),如果f(t+T)=f(t),那么T就是其周期,这样的T有无数个.其中最小的大于零的那个被称作“最小正周期”
cos2x 的周期是2π/2=π ,cos4x的周期是2π/4=π/2,现在你想一想,一个式子f(x)=g(x)-h(x),对于任意x,是不是只要经过一个T,使g(x)的值不变,h(x)的值也不变,那么f(x)的值也不变了呢,那么这样的T是不是我们就要找到周期呢?
你想象一下两个人围着操场赛跑的情景,某时刻cox2x与cos4x,同时起跑,由于各自周期不同,经过π/2的时间,cox4x刚好回到起点,cos2x却才跑了半圈,显然没有达到二者的“共同的周期”.那么同理,如果经过了π 时间呢?cos2x刚好跑完了一圈,而cos4x刚好跑完两圈,二者同时回到起点.那么π 显然就是二者“公共”的周期.
通过以上分析可以总结出,如果cos(ax)最小正周期是A,cos(bx)最小正周期是B,那么cos(ax)+cos(bx)的Z最小正周期就是A和B的最小公倍数,这一结论可以推广到任意有公共定义的f(x)=g(x)-h(x)上.
【注意,如果A,B中有一个就是另一个的整数倍,例如4与2,5与0.5,那么最小公倍数就是它.如果A和B都不是对方的整数倍,但是都是整数,例如16和20,那么最小公倍数为16*20/最大公约数4=80.如果A和B都是分数或者一个是整数一个是分数,例如3/4与5/6,那么最小公倍数是A/B并且化简后取分母,再用分母乘以A,例如3/4除以5/6=9/10,用10乘以3/4=15/2.
法二,在f(x),g(x)较为简单的情况下,例如本例中,采用楼上的f(x)=cos2x-cos4x
=cos2x-(1-2(cos2x)^2)
=(2^0.5cos2x+2^0.5/2)^2-1.5
所以T=2π /2=π 的方法,也可以求出.但如果式子复杂些,这样就不一定能轻易求出了.
f(x)=cos2x-cos4x
=cos2x-(1-2(cos2x)^2)
=(2^0.5cos2x+2^0.5/2)^2-1.5
所以T=2π /2=π
由和差化积公式，f(x)=sin x sin3x=(cos2x-cos4x)/2，由周期函数和的周期为各函数周期的最小公倍数得：f(x)的周期为cos2x(π)、cos4x(π/2)