一道圆锥曲线的几何题 过椭圆X^/5 + Y^/4 =12的左焦点做椭圆的弦 求弦中点的轨迹方程

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 16:52:59
一道圆锥曲线的几何题 过椭圆X^/5 + Y^/4 =12的左焦点做椭圆的弦 求弦中点的轨迹方程

一道圆锥曲线的几何题 过椭圆X^/5 + Y^/4 =12的左焦点做椭圆的弦 求弦中点的轨迹方程
一道圆锥曲线的几何题
过椭圆X^/5 + Y^/4 =12的左焦点做椭圆的弦 求弦中点的轨迹方程

一道圆锥曲线的几何题 过椭圆X^/5 + Y^/4 =12的左焦点做椭圆的弦 求弦中点的轨迹方程
你想写的椭圆方程应该是x²/5+y²/4=12吧,这样焦点f=√(a²-b²)=√(12(5-4))=2√3.
左焦点为(-f,0),若弦不垂直,设弦方程为y=k(x+f).弦与椭圆焦点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),中点P(x0,y0).代入P1,P2到椭圆方程得两个式子,相减得
(x1-x2)(x1+x2)/5+(y1-y2)(y1+y2)/4=0,
即(x1-x2)x0/5+(y1-y2)y0/4=0,即x0/5+((y1-y2)/(x1-x2))y0/4=0.
注意P1,P2在弦上,故有(y1-y2)/(x1-x2)=k.
所以x0/5+ky0/4=0.
P在弦上,代入直线方程得k=y0/(x0+f).
所以x0/5+y0²/(4(x0+f))=0,即4x0(x0+f)+5y0²=0,(x0≠-f).
当x0=-f时,弦竖直,中点显然为焦点(-f,0),仍满足4x0(x0+f)+5y0²=0.
综上,弦中点轨迹方程为4x(x+f)+5y²=0.

设弦中点的坐标为(x0,y0),由左焦点F1(根号5,0),然后可由此2点坐标得出一直线,然后求直线与椭圆的交点分别是(x1,y1)(x2,y2),再由x1+x2=x0,y1+y2=y0,再代换推到就出来了!

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