矩阵A的特征值为λ则λ的负一次幂是A逆的特征值对吗?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 17:53:49

矩阵A的特征值为λ则λ的负一次幂是A逆的特征值对吗?
矩阵A的特征值为λ则λ的负一次幂是A逆的特征值对吗?

矩阵A的特征值为λ则λ的负一次幂是A逆的特征值对吗?
先改写一下说法,因为矩阵的特征值数量不一定只有一个.改写如下：
命题1：k为矩阵A的非零特征值,则k的负一次幂是A逆的特征值对吗?
答：在前提A可逆之下,此命题成立.否则,视A逆为广义逆,估计也成立,我未加严格论证.
我们这里设A可逆.
命题1证明如下：
设方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ,故Eξ=A^(-1)*kξ,故A^(-1)*ξ=1/k * ξ
命题一得证.
命题2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,f(A)是关于A的多项式,则：
f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).
命题2之证明：设A的特征值k对应于特征向量ξ,即有Aξ=kξ
故AAξ=kAξ=k*kξ,递推得 A^nξ=k^nξ
同理 f(A)ξ=f(k)ξ.得征.
依命题1,命题2,有命题3：
方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ,当f(A)为A的幂级数(允许负幂和形式幂级数)时,f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).

矩阵AD的特征值为拉姆达，则拉姆达的倒数是它的特征

注意条件：A可逆

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