求y"+y=x+cosx 的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 18:35:15

求y"+y=x+cosx 的通解
求y"+y=x+cosx 的通解

求y"+y=x+cosx 的通解
y'' + y = x + cosx
特征方程:
λ² + 1 = 0
=> λ = ±i
y = c₁cosx + c₂sinx
y₀ = (A + Bx) + x(Ccosx + Dsinx) = A + Bx + Cxcosx + Dxsinx
y₀'' = -Cxcosx - 2Csinx + 2Dcosx - Dxsinx
代入y'' + y = x + cosx：
(-Cxcosx - 2Csinx + 2Dcosx - Dxsinx) + (A + Bx + Cxcosx + Dxsinx) = x + cosx
A + Bx + 2Dcosx - 2Csinx = x + cosx
A = 0,B = 1,C = 0,D = 1/2
y₀ = x + (1/2)xsinx
所以通解为y = c₁cosx + c₂sinx + x + (1/2)xsinx

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