作业帮为了方便 向量我用中括号括起来已知抛物线X^2 =4Y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且[AF]=λ[FB](λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点是M（1）证明[FM]·[AB]为定值（2）设△ABM的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 14:41:40
![为了方便 向量我用中括号括起来已知抛物线X^2 =4Y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且[AF]=λ[FB](λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点是M（1）证明[FM]·[AB]为定值（2）设△ABM的面积](/uploads/image/z/13283237-29-7.jpg?t=%E4%B8%BA%E4%BA%86%E6%96%B9%E4%BE%BF+%E5%90%91%E9%87%8F%E6%88%91%E7%94%A8%E4%B8%AD%E6%8B%AC%E5%8F%B7%E6%8B%AC%E8%B5%B7%E6%9D%A5%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BFX%5E2+%3D4Y+%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%E4%B8%BAF%2CA%E3%80%81B%E6%98%AF%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%A4%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E4%B8%94%5BAF%5D%3D%CE%BB%5BFB%5D%28%CE%BB%3E0%29.%E8%BF%87A%E3%80%81B%E4%B8%A4%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BD%9C%E6%8A%9B%E7%89%A9%E7%BA%BF%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%2C%E8%AE%BE%E5%85%B6%E4%BA%A4%E7%82%B9%E6%98%AFM%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8E%5BFM%5D%C2%B7%5BAB%5D%E4%B8%BA%E5%AE%9A%E5%80%BC%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AE%BE%E2%96%B3ABM%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF)
为了方便 向量我用中括号括起来已知抛物线X^2 =4Y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且[AF]=λ[FB](λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点是M（1）证明[FM]·[AB]为定值（2）设△ABM的面积
为了方便 向量我用中括号括起来
已知抛物线X^2 =4Y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且[AF]=λ[FB]
(λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点是M
（1）证明[FM]·[AB]为定值
（2）设△ABM的面积为S,写出S=f（λ）的表达式,并求出S的最小值
为了方便 向量我用中括号括起来已知抛物线X^2 =4Y 的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且[AF]=λ[FB](λ>0).过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点是M（1）证明[FM]·[AB]为定值（2）设△ABM的面积
（1）易知,焦点F(0,1).可设A(2a,a^2),B(2b,b^2).(a,b∈R,a≠b.).由题设知,三点A,F,B共线,由三点共线条件得：ab=-1.对x^2=4y求导得：y'=x/2.故可求得过点A,B的两切线方程为：y=ax-a^2,y=bx-b^2.解得：x=a+b,y=ab=-1.故由题设知点M(a+b,-1).故有FM=(a+b,-2),AB=(2b-2a,b^2-a^2).FM*AB=(a+b)*(2b-2a)-2(b^2-a^2)=0.即有FM*AB=0(定值）.（2）由FM*AB=0知,FM⊥AB.故S=|AB|*|FM|/2.再由AF=tFB及ab=-1可得：a^2=t.b^2=1/t.故可得：|AB|^2=(2b-2a)^2+(b^2-a^2)^2=[t+(1/t)+2]^2,|MF|^2=(a+b)^2+9=t+(1/t)+7.故得：S=1/2*[t+(1/t)+2]*√[t+(1/t)+7].易知,当t=1时,Smin=6.