作业帮蚂蚁爬绳子（数学高手才可进入）设有一条绳子(理想的绳子 永远不断)长1米,而且每秒均匀拉伸10厘米,一只蚂蚁(当然是理想的蚂蚁啦,永远不死)从绳子的一端爬向另一端,每秒爬1厘米,问,蚂蚁
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 23:13:50
蚂蚁爬绳子（数学高手才可进入）设有一条绳子(理想的绳子 永远不断)长1米,而且每秒均匀拉伸10厘米,一只蚂蚁(当然是理想的蚂蚁啦,永远不死)从绳子的一端爬向另一端,每秒爬1厘米,问,蚂蚁
蚂蚁爬绳子（数学高手才可进入）
设有一条绳子(理想的绳子 永远不断)长1米,
而且每秒均匀拉伸10厘米,
一只蚂蚁(当然是理想的蚂蚁啦,永远不死)从绳子的一端爬向另一端,
每秒爬1厘米,
问,蚂蚁能不能爬到另一端?
如果不能,给出证明
如果不能,需要多长时间能爬到另一端?
如果能，需要多长时间能爬到另一端？
蚂蚁爬绳子（数学高手才可进入）设有一条绳子(理想的绳子 永远不断)长1米,而且每秒均匀拉伸10厘米,一只蚂蚁(当然是理想的蚂蚁啦,永远不死)从绳子的一端爬向另一端,每秒爬1厘米,问,蚂蚁
蚂蚁能爬到另一端.用时约6个多小时.
设蚂蚁从绳子一端的原点出发.
设任意t时刻蚂蚁与原点的距离为 x(t),同时 绳子总长为 L(t);
则 L(t)=100+10t (cm)
蚂蚁的移动速度
v(t)=dx(t)/dt
= 小虫主动爬行速度 + x(t)处的绳子伸长速度
即
dx(t)/dt = 1 + [x(t)/L(t)]*10
dx(t)/dt = 1 + x(t)/(10+t)
利用初始条件得上微分方程的唯一
x(t)= (10+t)*ln(1+t/10)
这就是任意时刻 t ,蚂蚁距离初试原点距离的表达式
如果它能爬到另一端,那么设时间为T,则
x(T)=L(T)
检验此方程有无解
(10+T)*ln(1+T/10)=100+10T
解出：
T=10*(e^10-1)= 22054.7 (s) = 6.13 小时
为什么数学高手才能进？
求极限啊 爬不到头 呵呵 实际上第一秒蚂蚁爬了1.1CM
你可以理论上推理 求蚂蚁爬的速度 比单位时间内剩余绳子增长的速度快的点 如果存在就能爬到头 不存在就不能爬到头
别人的答案
蚂蚁的位置为Sn，S1=2，n〉1时，Sn=（S~n-1~+1）*（N+1）/N
求出数列Sn=(N+1)*(1+1/2+1/3+1/4。。。+1/N)；绳长为An=100000N...
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求极限啊 爬不到头 呵呵 实际上第一秒蚂蚁爬了1.1CM
你可以理论上推理 求蚂蚁爬的速度 比单位时间内剩余绳子增长的速度快的点 如果存在就能爬到头 不存在就不能爬到头
别人的答案
蚂蚁的位置为Sn，S1=2，n〉1时，Sn=（S~n-1~+1）*（N+1）/N
求出数列Sn=(N+1)*(1+1/2+1/3+1/4。。。+1/N)；绳长为An=100000N (这里有可能由于理解不同，认为An=100000（N+1），但不影响结论)，
需要求证Sn〉An.因为
Sn〉（N+1）*（1+1/2+1/4*2+1/8*4+1/16*8。。。。）
〉（N+1）（1+1/2*Log2~N）
因为1+1/2*Log2~N为增函数所以会大于100000，
且N+1〉N，有都是正整数，
所以Sn〉An。
所以问题答案为蚂蚁可以爬到绳子的另一端
收起
可以，绳子伸长不改变蚂蚁与两边长度的比例，图无限放大，但蚂蚁不改变在绳子上的位置。而蚂蚁前进改变比例，以至与终点距离为零。
也可设想蚂蚁爬的是物质，不是绳子，而每进一步减少与终点之间的物质量，总会到的。
不能！
绳子每秒均匀拉伸10厘米，蚂蚁每秒爬1厘米
当1秒后，绳子加长10厘米，蚂蚁走1厘米，剩下109厘米
当2秒后，剩下118厘米
……
每过1秒，蚂蚁要走的绳子剩余尺寸都要加9厘米
所以蚂蚁不可能走完。
我也非常赞同：
可以，绳子伸长不改变蚂蚁与两边长度的比例，图无限放大，但蚂蚁不改变在绳子上的位置。而蚂蚁前进改变比例，以至与终点距离为零。