作业帮以（-2,0）（2,0）为焦点,经过直线l：x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 06:02:19
以（-2,0）（2,0）为焦点,经过直线l：x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
以（-2,0）（2,0）为焦点,经过直线l：x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
以（-2,0）（2,0）为焦点,经过直线l：x+y=9上一点P作椭圆C,当C长轴最短时,求椭圆C的方程.
考虑直线和椭圆的位置关系 ,只有当直线与椭圆相切时 ,短轴长最短 ,此时长轴长也最短 .∵c = 2 ,且焦点在x轴上 ,∴b^2 = a^2 - c^2 = a^2 - 4 ,可设方程为：[x^2/a^2] + [y^2/(a^2 - 4)] = 1 ,即：(a^2 - 4)·x^2 + a^2·y^2 = a^2(a^2 - 4) ,代入直线方程：(a^2 - 4)·x^2 + a^2·(9 - x)^2 = a^2(a^2 - 4) ,
整理得：(2a^2 - 4)x^2 - 18a^2·x + (85a^2 - a^4) = 0 ,∵相切 ,∴△ = 0 ,∴324a^4 = 4(2a^2 - 4)(85a^2 - a^4) ,解方程得：a^2 = 4 或 a^2 = 85/2 ,∵a^2 > c^2 = 4 ,∴a^2 = 85/2 ,∴b^2 = (85/2) - 4 = 77/2 ,
∴当C长轴最短时,椭圆C的方程为：x^2/(85/2) + y^2/(77/2) = 1
（-2，0）关于直线l：x+y=9的对称点为：（9，11）
(9,11),(2,0)的距离= √[(9-2)^2+11^2]=√170
a^2=170/4=85/2
b^2=a^2-c^2=85/2-4=77/2
椭圆方程：x^2/(85/2)+y^2/(77/2)=1
即：2x^2/85+2y^2/77=1
F1(-2,0)关于直线l的对称点A（9,11),根据反射原理
F2(2,0)
AF2的长度就是2a，其中a是最小半长轴
给分吧