作业帮某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争.到2007年底全县的绿化率已达30%．从2008年开始,每年将出现以下变化,：原有沙漠面积的16%将被绿化,改造成绿洲,同时,原有绿化面积的4%又被
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 10:01:19
某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争.到2007年底全县的绿化率已达30%．从2008年开始,每年将出现以下变化,：原有沙漠面积的16%将被绿化,改造成绿洲,同时,原有绿化面积的4%又被
某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争.到2007年底全县的绿化率已达30%．从2008年开始,每年将出现以下变化,：原有沙漠面积的16%将被绿化,改造成绿洲,同时,原有绿化面积的4%又被侵蚀,沙化．
（1）以2007年为第1年,第n年底的绿化率为an,求证数列{an-4/5}是等比数列.
（2）至少经过多少年的努力,才能使全区绿化率超过60%?
某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争.到2007年底全县的绿化率已达30%．从2008年开始,每年将出现以下变化,：原有沙漠面积的16%将被绿化,改造成绿洲,同时,原有绿化面积的4%又被
某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争.到2007年底全县的绿化率已达30%．从2008年开始,每年将出现以下变化,：原有沙漠面积的16%将被绿化,改造成绿洲,同时,原有绿化面积的4%又被侵蚀、沙化．
（1）以2007年为第1年,第n年底的绿化率为an,求证数列{an-4/5}是等比数列.
（2）至少经过多少年的努力,才能使全区绿化率超过60%?
【解】
(1)
设2007年起以后第n年年底该县绿化率为an（n为下标）,则有
an+(1-an)*(16%)-an*(4%)=a(n+1) （等号右的(n+1)为下标）
化简,得 0.8an+0.16=a(n+1),
所以a(n+1)-0.8=0.8an-0.64,
a(n+1)-0.8=0.8(an-0.8),
即a(n+1)-4/5=4/5(an-4/5),
所以数列{an-4/5}是等比数列,公比为4/5.
（2）
由（1）知：数列{an-4/5}是等比数列,公比为4/5,
a1=30%,首项为a1-4/5=30%-4/5=-1/2,
所以an-4/5=(-1/2)*(4/5)^(n-1).
an=(-1/2)*(4/5)^(n-1) +4/5.
根据题意,要求全区绿化率超过60%,
所以an>60%,即(-1/2)*(4/5)^(n-1) +4/5>60%,
(1/2)*(4/5)^(n-1)log(4/5)(2/5)+1,
log(4/5)(2/5)=lg(2/5)/lg(4/5)
=lg(4/10)/lg(8/10)=(lg4-lg10)/(lg8-lg10)
=(2lg2-1)/(3lg2-1)
将lg2=0.3代入上式可得：(2lg2-1)/(3lg2-1)=-0.4/(-0.1)=4,
所以n>log(4/5)(2/5)+1=5,
∴至少经过6年的努力,才能使全区绿化率超过60%.
【另法】设2007年起以后第n年年底的绿化率为an（2008年年底绿化率为a1）,
则有 a1=30%+(1-30%)*16%-30%*4%=40%
an=…{[(a1*0.8+0.16)*0.8+0.16]*0.8+0.16}…
=a1*0.8^(n-1)+0.16*0.8^(n-2)+0.16*0.8^(n-3)+…+0.16*0.8+0.16
=0.4*0.8^(n-1)+0.16*[1+0.8+0.8^2+…+0.8^(n-2)]
=0.4*0.8^n/0.8+0.16*[1-0.8^(n-1)]/(1-0.8)
=0.5*0.8^n+0.8-0.8^n
=0.8-0.5*0.8^n
由题意,an>60%,即0.8-0.5*0.8^n>0.6,得0.8^n4.11时,0.8^n60%
取整数n=5
因为2008年年底绿化率为a1,
所以至少经过6年的努力（到2003年底）才能使全县绿化率超过60%.