作业帮定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]事一次函数,在[3,6]是二次函数,当3≤x≤6,f(x)≤f(5)＝3,f(3)＝-1,(1)求f(x)表达式(2)当f(x)≤t^2-2at(t∈R)对所有的x∈[-6,6]及a∈[-1,1] 都成立,求t的范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:16:46
![定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]事一次函数,在[3,6]是二次函数,当3≤x≤6,f(x)≤f(5)＝3,f(3)＝-1,(1)求f(x)表达式(2)当f(x)≤t^2-2at(t∈R)对所有的x∈[-6,6]及a∈[-1,1] 都成立,求t的范围](/uploads/image/z/9843167-47-7.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%5B-6%2C6%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A5%87%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E4%B8%94f%28x%29%E5%9C%A8%5B0%2C3%5D%E4%BA%8B%E4%B8%80%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%9C%A8%5B3%2C6%5D%E6%98%AF%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%BD%933%E2%89%A4x%E2%89%A46%2Cf%28x%29%E2%89%A4f%285%29%EF%BC%9D3%2Cf%283%29%EF%BC%9D-1%2C%281%29%E6%B1%82f%28x%29%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%282%29%E5%BD%93f%28x%29%E2%89%A4t%5E2-2at%28t%E2%88%88R%29%E5%AF%B9%E6%89%80%E6%9C%89%E7%9A%84x%E2%88%88%5B-6%2C6%5D%E5%8F%8Aa%E2%88%88%5B-1%2C1%5D+%E9%83%BD%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E6%B1%82t%E7%9A%84%E8%8C%83%E5%9B%B4)
定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]事一次函数,在[3,6]是二次函数,当3≤x≤6,f(x)≤f(5)＝3,f(3)＝-1,(1)求f(x)表达式(2)当f(x)≤t^2-2at(t∈R)对所有的x∈[-6,6]及a∈[-1,1] 都成立,求t的范围
定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]事一次函数,在[3,6]是二次函数,当3≤x≤6,f(x)≤f(5)＝3,f(3)＝-1,(1)求f(x)表达式(2)当f(x)≤t^2-2at(t∈R)对所有的x∈[-6,6]及a∈[-1,1] 都成立,求t的范围
定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]事一次函数,在[3,6]是二次函数,当3≤x≤6,f(x)≤f(5)＝3,f(3)＝-1,(1)求f(x)表达式(2)当f(x)≤t^2-2at(t∈R)对所有的x∈[-6,6]及a∈[-1,1] 都成立,求t的范围
1）
f(x)在[0,3]是一次函数,且定义在[-6,6]上的奇函数,所以f(0)=0
又,f(3)=-1,所以x∈[0,3]时,f(x)=-1/3x,由奇函数,x∈[-3,0],f(x)=-1/3x
x∈[3,6]时,f(x)是二次函数且f(x)≤f(5)＝3,所以不妨假设x∈[3,6]时,f(x)=a(x-h)^2+d,则显然唯有点（5,3）为二次函数定点且a＜0时,条件方成立,所以f(x)=a(x-5)^2+3
有,二次函数在点x=3上存在,所以f(3)=a(3-5)^2+3=4a+3=-1,所以a=-1
所以x∈[3,6]时,f(x)=-(x-5)^2+3,由奇函数对称性,x∈[-6,-3]时,f(x)=-[(-x-5)^2+3]=(x+5)^2-3
综上,f(x)= (x+5)^2-3,x∈[-6,-3]
-1/3x,x∈[-3,3]
-(x-5)^2+3,x∈[3,6]
2）
即f(x)≤t^2-2at恒成立.
比较f(x)在[-6,-5]、[-5,-3]、[-3,3]、[3,5]、[5,6]上的单调性,可知各区间上的最值,最终,x∈[-6,6]时,{f(x)}max=f(5)=3
所以,对任意a∈[-1,1] ,3≤t^2-2at恒成立
情况一,t=0：
则有3≤0,不等式恒不成立
情况二,t＞0：
则“对任意a∈[-1,1] ,3≤t^2-2at恒成立”等价于“对任意a∈[-1,1] ,a≤(t^2-3)/(2t)恒成立”
构造函数y=(t^2-3)/(2t)≥a恒成立,所以(t^2-3)/(2t)≥1恒成立,又t＞0,所以t^2-3≥2t,即t^2-2t-3≥0
(t-3)(t+1)≥0,t∈(-∞,-1]∪[3,+∞),交(0,+∞)得[3,+∞)
情况三,t＜0：
则“对任意a∈[-1,1] ,3≤t^2-2at恒成立”等价于“对任意a∈[-1,1] ,a≥(t^2-3)/(2t)恒成立”
构造函数y=(t^2-3)/(2t)≤a恒成立,所以(t^2-3)/(2t)≤-1恒成立,又t＜0,所以t^2-3≥-2t,即t^2+2t-3≥0
(t+3)(t-1)≥0,t∈(-∞,-3]∪[1,+∞),交(-∞,0)得(-∞,-3]
合并
得t∈(-∞,-3]∪[3,+∞)