作业帮对于函数f（x）,若存在X0∈R,使f（X0）=X0成立则称X0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax^2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）,若对任意实数b,函数f（x）恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 07:50:16
对于函数f（x）,若存在X0∈R,使f（X0）=X0成立则称X0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax^2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）,若对任意实数b,函数f（x）恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
对于函数f（x）,若存在X0∈R,使f（X0）=X0成立则称X0为f（x）的不动点.
已知函数f（x）=ax^2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）,若对任意实数b,函数f（x）恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
对于函数f（x）,若存在X0∈R,使f（X0）=X0成立则称X0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax^2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）,若对任意实数b,函数f（x）恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
函数f（x）恒有两个相异的不动点
即f(x)-x=0有两个不同的根
ax^2+(b+1)x+(b-1)-x=0
ax^2+bx+(b-1)=0
所以判别式大于0
b^2-4a(b-1)>0
4a(b-1)
若b-1>0
4a
所以b^2/(b-1)>0
所以a
4a>b^2/(b-1)
若b=0,则a>0
若b不等于0
则b^2/(b-1)<0
a>b^2/4(b-1)
所以b>1,a
0
b=0,a>0
b<0,a>b^2/4(b-1)且a不等于0
函数f（x）恒有两个相异的不动点,即f(x)-x=0有两个不同的根；
ax^2+（b+1）x+（b-1）-x=0,
ax^2+bx+（b-1）=0,
判别式=b^2-4a(b-1)>0
a=0.25b^2/(b-1)=0.25[(b-1)^2+2(b-1)+1]/(b-1)
=0.25[(b-1)+1/(b-1)+2]
由均值不等式可得，
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函数f（x）恒有两个相异的不动点,即f(x)-x=0有两个不同的根；
ax^2+（b+1）x+（b-1）-x=0,
ax^2+bx+（b-1）=0,
判别式=b^2-4a(b-1)>0
a=0.25b^2/(b-1)=0.25[(b-1)^2+2(b-1)+1]/(b-1)
=0.25[(b-1)+1/(b-1)+2]
由均值不等式可得，
当b>1,(b-1)+1/(b-1)>=2, a>=0.25(2+2)=1
当b<1,(b-1)+1/(b-1)<=-2, a<=0.25(-2+2)=0
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