设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围
设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）
对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围

设函数f（x）=tx²+2t²x+t-1,x∈[-1,1],（1）若t>0,求f（x）的最小值h（t）对于（1）中的h（t），若t∈（0,2]时，h（t）＜-2t+m²+4m恒成立，求实数m的取值范围

t>0表示f(x)为开口向上的二次函数,f(x)的对称轴为x=t

当t>1时,区间上函数单调减,h(t)=f(1)=2t^2+2t-1

当0<t≤1时,区间上函数无单调性,最小值在顶点处取得,即h(t)=f(t)=3t^3+t-1

 
对于补充问题

令g(t)=-2t+m^2+4m,显然g(t)为减函数.以下分区间讨论

当0<t≤1时,有h(t)=3t^3+t-1,因h'(t)=9t^2+1>0,说明h(t)在区间0<t≤1上为增函数,
于是h(t)max=h(1)=10.而g(t)在区间0<t≤1上为减函数,有g(t)mim=g(1)=m^2+4m-2.
由于h(t)≤h(t)max,g(t)≥g(t)mim,要使h(t)<g(t),只要h(t)max<g(t)mim,于是有
10<m^2+4m-2,解此不等式得m的取值.略

当1<t≤2时,有h(t)=2t^2+2t-1,因h(t)开口向上且对称轴t=-1/2,显然h(t)在区间1<t≤2上为增函数,于是h(t)max=h(2)=11.而g(t)在区间1<t≤2上有g(t)mim=g(2)=m^2+4m-4.
同上理有11<m^2+4m-4,解此不等式得m的取值.略

将上面两项m的取值范围取并集,即得所求