作业帮直线y=ax+1与椭圆3x^2+y^2=2相交与P、Q两点.当a为何值时以PQ为直径的圆过坐标原点!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 18:51:07
直线y=ax+1与椭圆3x^2+y^2=2相交与P、Q两点.当a为何值时以PQ为直径的圆过坐标原点!
直线y=ax+1与椭圆3x^2+y^2=2相交与P、Q两点.当a为何值时以PQ为直径的圆过坐标原点!
直线y=ax+1与椭圆3x^2+y^2=2相交与P、Q两点.当a为何值时以PQ为直径的圆过坐标原点!
P(x1,y1)、Q(x2,y2)
联立直线与椭圆, (3+a^2)x^2+2ax-1=0.
韦达定理, x1+x2=-2a/(3+a^2),x1x2=-1/(3+a^2). ----(1)
并且 y1=ax1+1,y2=ax2+1. ----(2)
圆心(x0,y0),半径r: (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2.
以PQ为直径, x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,(2r)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2. ----(3)
圆过原点, x0^2+y0^2=r^2. ----(4)
联立(1)(2)(3)(4), 得a=1或-1.
把y=ax+1代入椭圆3x^2+y^2=2得:
(3+a^2)x^2+2ax-1=0
△=4a^2+4(3+a^2)>0;
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则有x1+x2=-2a/(a^2+3),x1*x2=-1/(a^2+3),
所以y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a^2x1x2+a(x1+x2)+1
又0P⊥OQ,所以向量OP*向量...
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把y=ax+1代入椭圆3x^2+y^2=2得:
(3+a^2)x^2+2ax-1=0
△=4a^2+4(3+a^2)>0;
设P(x1,y1),Q(x2,y2)
则有x1+x2=-2a/(a^2+3),x1*x2=-1/(a^2+3),
所以y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a^2x1x2+a(x1+x2)+1
又0P⊥OQ,所以向量OP*向量OQ=x1x2+y1y2=0,
即:(a^2+1)x1x2+a(x1+x2)+1=0
所以:-(a^2+1)/(a^2+3)-2a^2/(a^2+3)+1=0,解得a=±1.
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