证明：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)对任何整数n都为整数,且用3除时余2.

证明：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)对任何整数n都为整数,且用3除时余2.
证明：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)对任何整数n都为整数,且用3除时余2.

证明：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)对任何整数n都为整数,且用3除时余2.
证明：
( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=0.5n(n+1)(2n+1)-1
因为 n(n+1) 为连续二整数的积,必可被2整除.
所以 0.5n(n+1)(2n+1) 对任何整数n均为整数
所以 0.5n(n+1)(2n+1)-1 为整数,即 ( n^3+1.5n^2+0.5n-1) 为整数
因为 0.5n(n+1)(2n+1) = 4n(n+1)(2n+1)/8 = 2n(2n+1)(2n+2)/8
2n、(2n+1)、(2n+2) 为三个连续整数,其积必为3的倍数,而2与3互质,
所以 0.5n(n+1)(2n+1) 是能被3整除的数.
所以 ( n^3+1.5n^2+0.5n-1) = 0.5n(n+1)(2n+1)-1
= {n(n+1)(2n+1)-2}/2 被3除时余2.

( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=( 2*n^3+3n^2+n)/2-1=n*(2*n^2+3n+1)/2-1=n(n+1)(2n+1)/2-1
因为任意两个连续整数的积能够被2整除，因此n(n+1)(2n+1)/2为整数，所以原式为整数
原式＝n(n+1)(2n+1)/2-1＝n(n+1)(2n+1)/2-1-2+2＝n(n+1)(2n+1)/2-3+2
因此只需...

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( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=( 2*n^3+3n^2+n)/2-1=n*(2*n^2+3n+1)/2-1=n(n+1)(2n+1)/2-1
因为任意两个连续整数的积能够被2整除，因此n(n+1)(2n+1)/2为整数，所以原式为整数
原式＝n(n+1)(2n+1)/2-1＝n(n+1)(2n+1)/2-1-2+2＝n(n+1)(2n+1)/2-3+2
因此只需证明n(n+1)(2n+1)/2能被3整除
用完全归纳法令t＝n(n+1)(2n+1)/2
分类
1)当n＝0时，t＝0，能够被3整除。
2）当n>0时
(1)当n＝1时，t＝3，能被3整除
(2)设当n＝k时，t＝k(k+1)(2k+1)/2能被3整除
则n＝k+1时，t'＝ (k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1]/2=(k+1)(k+2)[2k+3]/2
t'-t=(k+1)(k+2)[2k+3]/2 - k(k+1)(2k+1)/2
=(k+1)/2*[(k+2)(2k+3)-k+1)(2k+1)]=(k+1)/2*[2k^2+4k+3k+6-2k^-k]
=(k+1)/2*[6k+6]=3*(k+1)^2/2 能被3整除
而t也能被3整除，因此t'能被3整除
即当n=k，原式能被3整除时，n＝k+1也能被3整除。完全归纳法证毕。
3）当n<0时令m＝-n重复2）即可。
证毕。

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1.
n为偶数，设n=2k，n为自然数
原式=(2k)^3+1.5*(2k)^2+0.5*2k-1
=8k^3+6k^2+k-1
=9k^3+6k^2-k^3+k-1
=3k(k^2+2k)-k(k^2-1)-1
=3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2
3k(k^2+2k)为整数，且能被3整除
(k-1)k(k+1)为...

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1.
n为偶数，设n=2k，n为自然数
原式=(2k)^3+1.5*(2k)^2+0.5*2k-1
=8k^3+6k^2+k-1
=9k^3+6k^2-k^3+k-1
=3k(k^2+2k)-k(k^2-1)-1
=3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2
3k(k^2+2k)为整数，且能被3整除
(k-1)k(k+1)为三个连续的自然数相乘，其中必有一个为3的倍数，
结果为整数且能被3整除
所以3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3能被3整除
所以3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2为整数且除以3的余数为2
2.
n为奇数，设n=2m+1，m为自然数
原式=(2m+1)^3+1.5(2m+1)^2+0.5(2m+1)-1
=8m^3+12m^2+6m+1+6m^2+6m+1.5+m+0.5-1
=8m^3+18m^2+13m+2
=9m^3+18m^2+12m-m^3+m+2
=3(m^3+6m^2+4m)-(m-1)m(m+1)+2
同理，
3(m^3+6m^2+4m)-(m-1)m(m+1)+2为整数且除以3的余数为2
综上，
( n^3+1.5n^2+0.5n-1)对任何整数n都为整数，且用3除时余2
得证

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证明：n^3+1.5n^2+0.5n-1=0.5n(n+1)(2n+1)-1
显然2整除n(n+1)，所以0.5n(n+1)为整数,所以n^3+1.5n^2+0.5n-1为整数
设f(n)=0.5n(n+1)(2n+1)
当n=0(mod3）时,显然3│n
当n=1(mod3）时,显然3│(2n+1)
当n=2(mod3）时,显然3│(n+1)
综上...

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证明：n^3+1.5n^2+0.5n-1=0.5n(n+1)(2n+1)-1
显然2整除n(n+1)，所以0.5n(n+1)为整数,所以n^3+1.5n^2+0.5n-1为整数
设f(n)=0.5n(n+1)(2n+1)
当n=0(mod3）时,显然3│n
当n=1(mod3）时,显然3│(2n+1)
当n=2(mod3）时,显然3│(n+1)
综上，总有3│f(n),所以f(n)-1=2(mod3)成立。
证毕！

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1）整数包括奇数和偶数（正、零、负）
当n=0时，显然：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=-1 为整数
当n为偶数时，令n=2m(m为整数）
此时 ：n^3+1.5n^2+0.5n-1
=（2m）^3+4m^2+m-1
=8m^3+6m^2+m-1，
显然为整数；
当n为奇数时，令n=2m-1

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1）整数包括奇数和偶数（正、零、负）
当n=0时，显然：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=-1 为整数
当n为偶数时，令n=2m(m为整数）
此时 ：n^3+1.5n^2+0.5n-1
=（2m）^3+4m^2+m-1
=8m^3+6m^2+m-1，
显然为整数；
当n为奇数时，令n=2m-1
此时：n^3+1.5n^2+0.5n-1
=（2m-1)^3+1.5(2m-1)^2+0.5(2m-1)-1
=（2m-1)^3+6m^2-6m+1.5+m-0.5-1
=8m^3-12m^2+6m-1+6m^2-5m
=8m^3-6m^2+m-1 ，
同样为整数
所以，( n^3+1.5n^2+0.5n-1)对任何整数n都为整数
2）当n为任意整数
可以看到8m^3+6m^2+m-1和8m^3-6m^2+m-1 中
6m^2一定可以被3整除
所以只需要考虑8m^3+m-1被3能否整除。
8m^3+m-1
=9m^3-m^3+m-1
如果上式被3除余2
那么 9m^3-m^3+m-1+1一定可以被3整除
即9m^3-m^3+m可以被3整除
其中9m^3可以被三整除
而-m^3+m
=-m（m^2-1)
=m(m-1)(m+1)
为连续的3个自然数之积，其中一定有一个数可以被2整除
总之，( n^3+1.5n^2+0.5n-1)用3除时余2

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