作业帮在三角形ABC中,角ABC=2倍角A,求证:AC的平方=BC的平方+(AB乘BC)很急,只能用沟股定理等初一升初二的知识,不能用什么三角函数和相似三角形!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:34:04
在三角形ABC中,角ABC=2倍角A,求证:AC的平方=BC的平方+(AB乘BC)很急,只能用沟股定理等初一升初二的知识,不能用什么三角函数和相似三角形!
在三角形ABC中,角ABC=2倍角A,求证:AC的平方=BC的平方+(AB乘BC)很急,
只能用沟股定理等初一升初二的知识,不能用什么三角函数和相似三角形!
在三角形ABC中,角ABC=2倍角A,求证:AC的平方=BC的平方+(AB乘BC)很急,只能用沟股定理等初一升初二的知识,不能用什么三角函数和相似三角形!
高中解法
设AB=c,BC=a.,AC=b,角A为β,则角B为2β
由正弦定理,sinβ/a=sin2β/b=2sinβcosβ/b
即cosβ=b/(2a).①
由余弦定理,cosβ=(b^2+c^2-a^2)/(2bc).②
由①②通分得cb^2=a(b^2+c^2-a^2)
得b^2(c-a)=a(c+a)(c-a)
若a=c,则在三角形中角A=角C=β
则4β=π,三角形为等腰直角三角形,原命题成立.
若a≠c,则b^2=a^2+ac,原命题成立.
证毕
初中解法：
设AB=c,BC=a.,AC=b,角A为β,则角B为2β
做∠B的平分线,交AC于D点,
过D做DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F
由于∠BDC为三角形ABD的外角,
则∠BDC=2β,所以△ABC∽△BDC
设AD=x,则由三角形相似得a/b=x/c
x=ac/b.①
由于∠A=β=∠ABD,所以DF=AD=x
由勾股定理得,BD^2-BF^2=DF^2=CD^2-CF^2,
即x^2-c^2/4=(b-x)^2-(a-c/2)^2,
得x=(b^2+ac-a^2)/(2b).②
由①②化简得,b^2=a^2+ac
PS：你真的是处于初一升初二的学生吗?初一没学相似?!#######这是什么数学教材!
回去自学一下相似吧!
看一下这个方法行不行吧.
设AB=c,BC=a.,AC=b,角A为β,则角B为2β
做∠B的平分线,交AC于点D,过D做DE‖AB,交BC于点E.
设DE长度为x,AD长度为y,则BD=y.
因为DE‖AB,所以DC/AC=EC/BC=DE/AB
即（b-y)/b=(a-x)/a=x/c
化简得x=ac/(a+c),y=bc/(a+c)
将△BDE绕点B逆时针旋转β度,
由于∠ABD=∠DBC=β
所以点D恰好旋转到AB上,设此点为F,
点E恰好旋转到BD上,设此点为G
因为DE‖AB,所以∠BDE=∠ABD=β
即∠BFG=β
所以FG‖AD,
所以,BF/AB=BG/BD=FG/AD
即x/y=y/c
代入x、y的值,化简得
b^2=a^2+ac
如果还不行你就自己做吧.
延长cb到d，使bd=ab。
三角形acd和dca相似。
这超出了初2水平了。。。