作业帮若函数f（x）满足f（x）=2f（-x）+x,则f（x）=?如题,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:11:57
若函数f（x）满足f（x）=2f（-x）+x,则f（x）=?如题,
若函数f（x）满足f（x）=2f（-x）+x,则f（x）=?如题,
若函数f（x）满足f（x）=2f（-x）+x,则f（x）=?如题,
f（x）=2f（-x）+x
f（-x）=2f（x）-x
两边乘2得
2f(-x)=4f(x)-2x
带入原式得：
f(x)=4f(x)-2x+x
3f(x)=x
f(x)=x/3
在f（x）=2f（-x）+x中取x=-x得
f(-x)=2f(x)-x
下式×2加上式得
f(x)=4f(x)-x
f(x)=x/3
f(x)=2f(-x)+x (1)
f(-x)=2f(x)-x
2f(-x)=4f(x)-2x (2)
(1)(2)两式相加，化简得到f（x）=x/3
把-x代入已知关系得：f（-x）=2f（x）-x ,把这个式子和原式相加
得到f（x）+f（-x）=2f（-x）+2f（x）+x-x
所以:f（x）+f（-x）=0 f(x)=-f(-x),
再把 f(x)=-f(-x),代入题目中已知关系：
得：-f(-x)＝2f（-x）+x,
3f（-x）+x＝0
f（-x）＝-x/3
...
全部展开
把-x代入已知关系得：f（-x）=2f（x）-x ,把这个式子和原式相加
得到f（x）+f（-x）=2f（-x）+2f（x）+x-x
所以:f（x）+f（-x）=0 f(x)=-f(-x),
再把 f(x)=-f(-x),代入题目中已知关系：
得：-f(-x)＝2f（-x）+x,
3f（-x）+x＝0
f（-x）＝-x/3
所以f（x）＝x/3
收起
由题意知：f(0)=2f(0)+0,所以f(0)=0
f（x）=2f（-x）+x,代入-x时，可得到f(x)+f(-x)=0
所以，f(x)为奇函数。
那么，f(x)=-f(-x)
代入上式：f(x)=-2f(x)+x
得：f(x)=x/3
令X=-X可得f(-x)=2f(x)-x与f(x)=2f(-x)+x联立可解得f(x)=x/3
注意题中x的定义域须为R（你肯定少说了这一点）
函数f（x）满足f（x）=2f（-x）+x，①
将x=-x代入上式得f（-x）=2f（x）-x，
整理得2f（x）=-f（-x）-x，②
①+②得3f（x）=f（-x），③
将③代入①得f（x）=6f（x）+x，
解得f（x）=-5分之 x