多元函数取极值的条件是什么?网上说各个分量的偏导数为0,但是这是充要条件吗?我怎么感觉这只是一个必要条件啊?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 00:28:12

多元函数取极值的条件是什么?网上说各个分量的偏导数为0,但是这是充要条件吗?我怎么感觉这只是一个必要条件啊?
多元函数取极值的条件是什么?
网上说各个分量的偏导数为0,但是这是充要条件吗?我怎么感觉这只是一个必要条件啊?

多元函数取极值的条件是什么?网上说各个分量的偏导数为0,但是这是充要条件吗?我怎么感觉这只是一个必要条件啊?
各个分量的偏导数为0,这是一个必要条件.充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的.如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式.如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的,那么这时不是极值点.
以二元函数为例,设函数z=f(x,y)在点（x.,y.）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x.,y.）,fy(x.,y.）=0,令
fxx(x.,y.)=A,fxy=(x.,y.）=B,fyy=(x.,y.）=C
则f(x,y)在（x.,y.）处是否取得极值的条件是
（1）AC-B*B>0时有极值
（2）AC-B*B

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