四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC,如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 03:40:28

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC,如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC,
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小．

四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2根号2,PA=2,E是PC上一点,PE=2EC,如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）
（1）因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC
所以BD⊥面ACP,所以PC⊥BD

设AC,BD交于点O
CE=PC/3=2√3/3
CE/CO=(2√3/3)/√2=√6/3=AC/PC
所以△PAC相似于△OEC
所以∠OEC=∠PAC=90°,即PC⊥EO

所以PC⊥平面BED

（2）取AC的中点O,连接FO,
∵F为PC中点,
∴FO∥PA且,又PA⊥平面ABCD,
∴FO⊥平面ABCD．
过O作OG⊥AE于G,则∠FGO就是二面角F﹣AE﹣C的平面角．
由作图及题意可得FO=1,得tan∠FGO==2,
即二面角的大小为arctan2.

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第一问：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD
因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC
所以BD⊥面ACP，所以PC⊥BD
设AC，BD交于点O
CE=PC/3=2√3/3
CE/CO=(2√3/3)/√2=√6/3=AC/PC
所以△PAC相似于△OEC
所以∠OEC=∠PAC=90°，即PC⊥EO
所以PC⊥平面BED

第二问：
作EK⊥AC交AC于K
则EK=AP*CE/CP=2/3
ED=EK/sin30°=EK*2=4/3
△CED为RT△，所以CD=2√7/3
OD=√(CD^2-OC^2)=√10/3
底面积=2*OC*OD=4√5/3
四棱锥P-ABCD的体积：V=S*h/3=8√5/9

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