a>0,b>0,c>0,且abc=1,求证；a²+b²+c²≥√a+√b+√c

a>0,b>0,c>0,且abc=1,求证；a²+b²+c²≥√a+√b+√c
a>0,b>0,c>0,且abc=1,求证；a²+b²+c²≥√a+√b+√c

a>0,b>0,c>0,且abc=1,求证；a²+b²+c²≥√a+√b+√c
首先,由(x-y)²+(y-z)²+(z-x)² ≥ 0,
展开得不等式x²+y²+z² ≥ xy+yz+zx.
因此a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca.
再对x = √(ab),y = √(bc),z = √(ca)使用该不等式,
得ab+bc+ca ≥ √(ab)√(bc)+√(bc)√(ca)+√(ca)√(ab)
= √(abc)·(√a+√b+√c)
= √a+√b+√c.
于是a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca ≥ √a+√b+√c,即所求证.