作业帮数列{an}满足a1=1,an^2=(2an+1)a(n+1),令bn=lg(1+1/an),求证{bn}为等比数列求{an}通项公式求证 ∑（ai/(1+ai)）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:24:21
数列{an}满足a1=1,an^2=(2an+1)a(n+1),令bn=lg(1+1/an),求证{bn}为等比数列求{an}通项公式求证 ∑（ai/(1+ai)）
数列{an}满足a1=1,an^2=(2an+1)a(n+1),令bn=lg(1+1/an),求证{bn}为等比数列
求{an}通项公式
求证 ∑（ai/(1+ai)）
数列{an}满足a1=1,an^2=(2an+1)a(n+1),令bn=lg(1+1/an),求证{bn}为等比数列求{an}通项公式求证 ∑（ai/(1+ai)）
an^2=(2an+1)a(n+1),
a(n+1)=an²/(2an+1) (1)
a(n+1)+1=an²/(2an+1)+1=(an+1)²/(2an+1) (2)
(2)÷(1) [a(n+1)+1]/a(n+1)=[(an+1)/an]²
依次顺推)(an+1)/an={[a(n-1)+1]/a(n-1)}²=.=[(a1+1)/a1]^2^(n-1)=2^[2^(n-1)]
即1+1/an=2^[2^(n-1)] (1)
所以bn=lg2^[2^(n-1)]=2^(n-1)*ln2 b(n-1)=2^(n-2)*ln2
bn/b(n-1)=2ln2
所以{bn}是公比为2ln2的等比数列
由(1) 得通项公式an=1/{1-2^[2^(n-1)]}
an/(an+1)=1/2^[2^(n-1)]
∑（ai/(1+ai)）=1/2+1/2^2+1/2^4+1/2^8+.+1/2^[2^(n-1)]
=3/4+(1/2^3)[1/2+1/2^3+.+1/2^[2^(n-1)-3]
由(a(n))^2=(2a(n)+1)*a(n+1)可得(a(n)+1)^2 = (2a(n)+1)*(a(n+1) +1), 两式相除可得
(a(n)+1)^2 /(a(n))^2 = (a(n+1) +1)/a(n+1), 所以2b(n)=b(n+1), 即{b(n)}是公比为2的等比数列。
因为b(1)=lg(1+1/a(1))=lg2, 所以lg(1+1/a(n))=...
全部展开
由(a(n))^2=(2a(n)+1)*a(n+1)可得(a(n)+1)^2 = (2a(n)+1)*(a(n+1) +1), 两式相除可得
(a(n)+1)^2 /(a(n))^2 = (a(n+1) +1)/a(n+1), 所以2b(n)=b(n+1), 即{b(n)}是公比为2的等比数列。
因为b(1)=lg(1+1/a(1))=lg2, 所以lg(1+1/a(n))=b(n)=lg2 * 2^(n-1), 即a(n)=1/(2^(2^(n-1)) -1).
因为a(i)/(1+a(i))=1/2^(2^(n-1)), 另一方面当k≥3时，用二项式展开2^(k-1)=(1+1)^(k-1)可得
2^(k-1)=(1+1)^(k-1) = 1 + k-1 + ... + 1≥1+k-1+1=k+1,
所以当k≥3时, a(i)/(1+a(i)) ≤1/2^(k+1), 而a(1)/(1+a(1))=1/2, a(2)/(1+a(2))=1/4, 所以
∑(ai/(1+ai)) = a(1)/(1+a(1)) + a(2)/(1+a(2)) + a(3)/(1+a(3)) +....
≤1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/32 + ... + 1/2^(n+1) = 7/8 - 1/2^(n+1) <7/8.
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