已知椭圆x^2/4+y^/1=1,点M（2,3）,过点M引直线交椭圆于AB两点,求弦AB的中点P的轨迹方程

已知椭圆x^2/4+y^/1=1,点M（2,3）,过点M引直线交椭圆于AB两点,求弦AB的中点P的轨迹方程
已知椭圆x^2/4+y^/1=1,点M（2,3）,过点M引直线交椭圆于AB两点,求弦AB的中点P的轨迹方程

已知椭圆x^2/4+y^/1=1,点M（2,3）,过点M引直线交椭圆于AB两点,求弦AB的中点P的轨迹方程
设A(x1,y1)B(x2,y2),其中点P(x0,y0),则：x1 + x2 = 2x0,y1 + y2 = 2y0
易证M在椭圆外,假设过M的直线L斜率是存在的,设为k,根据点斜式可得L：y - 3 = k(x - 2)
把A、B坐标代入椭圆方程：
(x1)^2/4+(y1)^2/1=1
(x2)^2/4+(y2)^2/1=1
相减、整理可得：(x1)^2 - (x2)^2 = (-4)·[(y1)^2 - (y2)^2]
即：[(y1 - y2)/(x1 - x2)]·[(y1 + y2)/(x1 + x2)] = -1/4
∵x1 + x2 = 2x0,y1 + y2 = 2y0,根据斜截式：k = [(y1 - y2)/(x1 - x2)]
∴k·[(y0)/(x0)] = -1/4,∴k = -x0/4y0,代入直线方程：
y - 3 = (-x/4y) ·(x - 2)
∴4(y^2 - 3y) + x(x - 2) = 0
∴4[y - (3/2)]^2 + (x - 1)^2 = 10.T式
当k不存在,即L垂直x轴时,可算得L此时与椭圆相切,∴不可能有A、B两个交点
∴化简T式可得弦AB的中点P的轨迹方程：
[(x - 1)^2/10] + {[y - (3/2)]^2/(5/2)} = 1 ,这是椭圆