作业帮已知椭圆 c1 x^2/4+y^2/3=1 且其右焦点与抛物线c2 y^2=4x的焦点F重合 问直线L经过点F与椭圆C1相交于A B两点 与抛物线C2相交于C D 两点 求|AB|/CD的最大值?各位老师们请指导下我~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 01:59:07
已知椭圆 c1 x^2/4+y^2/3=1 且其右焦点与抛物线c2 y^2=4x的焦点F重合 问直线L经过点F与椭圆C1相交于A B两点 与抛物线C2相交于C D 两点 求|AB|/CD的最大值?各位老师们请指导下我~
已知椭圆 c1 x^2/4+y^2/3=1 且其右焦点与抛物线c2 y^2=4x的焦点F重合 问
直线L经过点F与椭圆C1相交于A B两点 与抛物线C2相交于C D 两点 求|AB|/CD的最大值?各位老师们请指导下我~
已知椭圆 c1 x^2/4+y^2/3=1 且其右焦点与抛物线c2 y^2=4x的焦点F重合 问直线L经过点F与椭圆C1相交于A B两点 与抛物线C2相交于C D 两点 求|AB|/CD的最大值?各位老师们请指导下我~
首先求出椭圆右焦点：c=√(4-3)=1,F(1,0),e=c/a=1/2；
在设直线L：y=k(x-1),因L与C2须有两个交点,所以k0≠；
将L代入C2： k²(x-1)²=4x,整理得 k²x²-(2k²+4)x+k²=0,则此方程两根和为 x1+x2=2+(4/k²)；
由抛物线的特性,其上点（C或D）到焦点F的距离等于点到其准线（x=-1）的距离,得下式：
|CD|=|CF|+|FD|=(x1+1)+(x2+1)=2+(x1+x2)=4+(4/k²)；
类似地,将L代入C1得一元二次方程：(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0,其两根和x1+x2=8k²/(3+4k²)；
利用椭圆上的点到其右焦点F的距离与点到其右准线（x=a²/c=4）的距离之比等于e可得：
|AB|=|AF|+|FB|=e*(4-x1)+e*(4-x2)=8e-e(x1+x2)=4-4k²/(3+4k²)=12(1+k²)/(3+4k²)；
|AB|/|CD|=[(12+12k²)/(3+4k²)]/4[+(4/k²)]=3k²/(3+4k²)=3/[4+(3/k²)]
当k=∞,即当L垂直于x轴时,AB/CD最大3/4；