作业帮数列 (28 9:44:26)已知数列{an}、{bn}满足：a1=2,b1=1,且an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1(n≥2),bn=1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1(n≥2)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 03:53:02
数列 (28 9:44:26)已知数列{an}、{bn}满足：a1=2,b1=1,且an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1(n≥2),bn=1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1(n≥2)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn
数列 (28 9:44:26)
已知数列{an}、{bn}满足：a1=2,b1=1,且an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1(n≥2),bn=1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1(n≥2)
求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn
数列 (28 9:44:26)已知数列{an}、{bn}满足：a1=2,b1=1,且an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1(n≥2),bn=1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1(n≥2)求数列{an}的通项公式及前n项和公式Sn
设cn = an + bn
= 3/4a(n-1) + 1/4b(n-1) + 1 + 1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1
= a(n-1) + b(n-1) + 2
= c(n-1) + 2
所以cn是等差数列
c1 = 3 d=2 cn = 2n+1
an = cn - bn = 2n + 1 - [1/4a(n-1) + 3/4b(n-1) + 1]
= 2n - 1/4a(n-1) - 3/4b(n-1)
an = 3/4a(n-1) + 1/4b(n-1) + 1
消去 3/4b(n-1),
得,4an - 2a(n-1) = 2n + 3
2an - a(n-1) = n + 3/2
要将此式变成等差数列,
可将 n+3/2 拆成 2n - (n-1) + 1/2
变成 2an - a(n-1) = 2n - (n-1) + 1/2
再将 1/2 变成 1 - 1/2
最后此式可以演化为
2(an - n -1/2) = a(n-1) - (n-1) -1/2
设 pn = an - n - 1/2
所以,2pn = p(n-1)
此式是等比数列 p1 = a1 -1 - 1/2 = 1/2 q=1/2
pn = (1/2)^n
an = (1/2)^n + n + 1/2
Sn = 1 - (1/2)^n + n(n+1)/2 + n/2
= 1 - (1/2)^n + n^2/2 + n
an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1(n≥2),bn=1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1(n≥2)
两个递推公式相加：an+bn=a(n-1)+b(n-1)+2(n≥2)
an+bn构成等差数列，容易推出an+bn=a1+b1+2(n-1)=2n+1
所以b(n-1)=2n-1-a(n-1),带入an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1
...
全部展开
an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1(n≥2),bn=1/4a(n-1)+3/4b(n-1)+1(n≥2)
两个递推公式相加：an+bn=a(n-1)+b(n-1)+2(n≥2)
an+bn构成等差数列，容易推出an+bn=a1+b1+2(n-1)=2n+1
所以b(n-1)=2n-1-a(n-1),带入an=3/4a(n-1)+1/4b(n-1)+1
得到an=3/4a(n-1)+1/4(2n-1-a(n-1))+1
即an=1/2a(n-1)+n/2+3/4
变形为an-n-1/2=1/2(a(n-1)-(n-1)-1/2)
可见an-n-1/2构成一个等比数列，故an-n-1/2=(a1-1-1/2)/2^(n-1)=1/2^n
所以 an=n+1/2+1/2^n
继而 Sn=n(n+1)/2+n/2+(1-1/2^n)=(n^2+2n+2)/2-1/2^n
收起