设函数f(x)=(ax-1)/(x+1),其中a∈R,若f(x)在(0,+∞)上的单调减函数,求a的取值范围

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 22:26:31
设函数f(x)=(ax-1)/(x+1),其中a∈R,若f(x)在(0,+∞)上的单调减函数,求a的取值范围

设函数f(x)=(ax-1)/(x+1),其中a∈R,若f(x)在(0,+∞)上的单调减函数,求a的取值范围
设函数f(x)=(ax-1)/(x+1),其中a∈R,若f(x)在(0,+∞)上的单调减函数,求a的取值范围

设函数f(x)=(ax-1)/(x+1),其中a∈R,若f(x)在(0,+∞)上的单调减函数,求a的取值范围
法一：
f(x)=[a(x+1)-a-1]/(x+1)=a-[(a+1)/(x+1)],
因为u=-1/(x+1)在定义域上增,若f(x)减,则a+1小于0,
所以a小于-1
法二：
f'(x)=[(ax-1)'*(x+1)-(ax-1)*(x+1)']/(x+1)^2=(ax+a-ax+1)/(x+1)^2=(a+1)/(x+1)^2
由此可见,x在定义域上单调性一致
因为f(x)在(0,+∞)减,所以a+1小于0,
所以a小于-1

a=0时，f(x)=-1/(x+1)显然在(0,+∞)上的单调增
a不等于0时，f(x)=a-(a+1)/(x+1)
若要f(x)在(0,+∞)上的单调减函数，则-(a+1)>0
故a<-1

设x1>x2>0，则依题意有：
因为f（x）在(0,+∞)上的单调递减，
所以f(x2)>f(x1),即：
[(ax2-1)/(x2+1)]>[(ax1-1)/(x1+1)],
因为x1>x2>0，所以：
(ax2-1)*(x1+1)>(ax1-1)*(x2+1),即：
(x2-x1)*(a+1)>0
由于x2-x1<0, 故：a+1<0,
所以：a<-1

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