作业帮如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 07:13:36
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积
如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.若PD=2,求三棱锥P-EFD的体积
连接AC、BD交于点O,
∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,DB⊂底面ABCD,
∴PD⊥DC,PD⊥DB,
∵底面ABCD是正方形,
∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC,
∵DE⊂平面PDC,
∴BC⊥DE,
∵PD=DC,E是PC的中点,
∴DE⊥PC,
∴DE⊥平面PBC,
PD=DC=2,∴BD=BC=2,PC=2√2,DE=PE=√2,
连接BD,∴PB=√(PD²+BD²)=2√3,
∴cos∠EPF=(PB²+PC²-BC²)/2×PB×PC=√6/3,sin∠EPF=√3/3,
∴EF=PE×sin∠EPF=√6/3,PF=PE×cos∠EPF=2√3/3,
∴S△EFP=1/2×PF×EF=√2/3,
∴V三棱锥P-EFD=V三棱锥D-EFP=1/3×S△EFP×DE=2/9．
故答案为：2/9．
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